Dlaczego reguła podzielności przez 9 działa

Ktoś podbiega do was i krzyczy: „2943! Szybko, czy to jest podzielne przez 9? To kwestia życia i śmierci!” Możecie odpowiedzieć: „Nie ma sprawy.” „Aby szybko to ustalić, wystarczy dodać cyfry i sprawdzić, czy ich suma jest wielokrotnością… czy jest wielokrotnością 9, a więc czy jest podzielna przez 9.” Zróbmy to: 2 + 9 + 4 + 3 2 plus 9 to 11, 11 plus 4 to 15, 15 plus 3 to 18, zaś 18 z pewnością jest podzielne przez 9, więc i ta liczba jest podzielna przez 9. Jeśli nie jesteście pewni, czy 18 dzieli się przez 9, zróbcie to samo raz jeszcze. 1 plus 8 to 9, a 9 bez żadnych wątpliwości jest podzielne przez 9. I dzięki wam ten ktoś może pójść ratować własne lub czyjeś życie z tą informacją. Możecie jednak pomyśleć: „To fajne i przydatne, ale dlaczego działa?” „Czy działa też dla liczb innych niż 9?” „To chyba nie działa dla 5, 7, 11, ani dla 17.” „Dlaczego więc działa dla 9?” Otóż działa też dla 3, ale o tym w innym odcinku. Aby zrozumieć, dlaczego, przepiszmy 2943. Cyfra 2 w liczbie 2943 jest cyfrą tysięcy, możemy więc ją zapisać jako 2 razy… 2 razy tysiąc. 9 to cyfra setek, możemy ją więc zapisać jako 9 razy sto. 4 jest cyfrą dziesiątek, oznacza więc to samo, co 4 razy dziesięć. I mamy 3 jako cyfrę jedności, którą można zapisać jako 3 razy 1 czyli 3. To dosłownie: 2 tysiące 9-set 4-dzieści 3. 2 tysiące 9-set 4-dzieści 3. Teraz zapiszmy ten tysiąc, to sto i to dziesięć jako 1 plus coś podzielnego przez 9. Tysiąc można zapisać jako 1 + 999. 1 + 999. Sto można zapisać jako 1 + 99. 1 + 99. Dziesięć można zapisać jako 1 + 9. Zatem 2 · 1000 to jest to samo, co 2 · (1 + 999). 9 · 100 to jest to samo, co 9 · (1 + 99). 4 · 10 to jest to samo, co 4 · (1 + 9). I na końcu dodaję 3. Teraz rozbijmy nawiasy. Można uznać, że to wyrażenie jest równe 2 · 1, czyli 2, dodać 2 · 999. To wyrażenie jest równe 9 · 1… Stosuję zasadę rozdzielności. Rozdzieliłem to 2 na składniki sumy w pierwszym nawiasie. Teraz to samo z drugim nawiasem. Piszę: 9, bo 9 · 1… dodać 9 · 99. Dodać 9 · 99. Teraz trzeci nawias. Zapomniałem wstawić plusa. Rozdzielam 4: 4 · 1, czyli 4… oraz 4 · 9, czyli piszę: 4 · 9. I na końcu mamy dodać 3, piszę: + 3. Teraz pogrupuję te składniki. Najpierw wszystkie pomnożone przez dziewiątki. Zaznaczę je na pomarańczowo. To wyrażenie… to wyrażenie… i to wyrażenie tutaj. Mamy zatem 2 · 999, wziąłem je stąd… dodać 9 · 99… dodać 4 · 9… To są te trzy wyrażenia. …i dalej mamy: dodać 2… dodać 9… dodać 4… i dodać 3. Ciekawe: to przecież suma naszych cyfr! To samo, co mamy tutaj. Już pewnie widzicie, do czego zmierzam. Czy te pomarańczowe wyrażenia są podzielne przez 9? Niewątpliwie tak. 999 dzieli się przez 9, zatem także wielokrotność tej liczby. To dzieli się przez 9. To też dzieli się przez 9, bo nawet gdyby 99 nie było pomnożone przez 9… Każda wielokrotność 99 będzie podzielna przez 9, bo 99 dzieli się przez 9. To się dzieli, i tak samo jest z tym. Zawsze mnożymy cyfry przez wielokrotności 9. Cała ta suma będzie więc niewątpliwie podzielna przez 9. Aby to wszystko… Pamiętajmy, ja tylko rozpisałem tę liczbę w taki sposób. Aby to wszystko było podzielne przez 9… Skoro ta część dzieli się przez 9, to aby całość była podzielna przez 9, ten ogon musi się dzielić przez 9. Aby podzielne było to wszystko, cały ten fragment musi być podzielny… przez 9.