Rozróżnianie liczb pierwszych i złożonych

Ustal, czy poniższe liczby są liczbami pierwszymi, złożonymi, czy ani tym ani tym. Przypomnijmy: liczba pierwsza to taka liczba naturalna… czyli na przykład 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej… która jest podzielna tylko przez dwie liczby. Przy czym te dwie liczby to 1 i owa liczba. Przykładem liczby pierwszej jest 3. 3 jest podzielne tylko przez dwie liczby naturalne: 1 i 3 Innymi słowy, jedyny iloczyn liczb naturalnych który daje wynik 3 to 1 × 3. 3 dzieli się tylko przez 1 i siebie samą. Liczba złożona to taka liczba naturalna która dzieli się nie tylko przez 1 i siebie. Zaraz podam przykład. Będą też przykłady liczb ani pierwszych ani złożonych. Najpierw liczba 24. Sprawdźmy, przez jakie liczby naturalne… z wyłączeniem zera, które też bywa uznawane za liczbę naturalną …więc przez jakie liczby naturalne większe od zera nasza liczba dzieli się bez reszty. To tak zwane dzielniki. 24 dzieli się oczywiście przez 1 i 24. Wiemy, że 1 × 24 = 24. Ale 24 jest też podzielne przez 2. 2 × 12 = 24, więc 24 jest podzielne również przez 12. No i jest też podzielne przez 3. 3 × 8 też równa się 24. W zasadzie nie musimy szukać dalszych dzielników bo już wiemy, że to nie jest liczba pierwsza. Dzieli się nie tylko przez 1 i samą siebie. Jest to zatem liczba złożona. To jest liczba złożona. No, ale znajdźmy resztę dzielników, skoro zaczęliśmy. 24 dzieli się też przez 4, bo 4 × 6… Nie wiem, czy starczy miejsca. …bo 4 × 6 = 24. Oto wszystkie dzielniki 24. Jak widać, jest ich sporo więcej niż dwa. Teraz liczba 2. Przez jakie liczby naturalne większe od zera 2 dzieli się bez reszty? Na pewno przez 1 i 2. Kolejnych jednak jakoś nie widać. Liczba 2 ma tylko dwa dzielniki: 1 i siebie samą. A tak brzmi definicja liczby pierwszej. Zatem 2 jest liczbą pierwszą. Ciekawostka: 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Jedyną… parzystą… liczbą pierwszą. Nie powinniście się dziwić, bo z definicji liczba parzysta jest podzielna przez 2. 2 dzieli się przez 2, więc jest parzyste. Dzieli się jednak tylko przez 2 i 1, zatem to liczba pierwsza. Tymczasem każda inna liczba parzysta będzie podzielna przez 1… przez samą siebie… i przez 2. Każda liczba parzysta dzieli się przez samą siebie, 1 i 2. Skoro z definicji ma co najmniej trzy dzielniki, jest liczbą złożoną. Zatem 2 jest liczbą pierwszą, a reszta liczb parzystych to liczby złożone. A tu mamy ciekawy przypadek: 1. 1 jest podzielne tylko przez 1. Nie jest więc liczbą pierwszą… teoretycznie… ponieważ ma tylko jeden… ma tylko jeden dzielnik. A nie dwa. 1 jest podzielne przez siebie, ale definicja wymaga dwóch różnych dzielników a 1 ma tylko jeden dzielnik. Z kolei liczba złożona musi mieć więcej niż dwa dzielniki: 1, samą siebie, i jeszcze coś. 1 nie jest zatem ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną. Ani tym, ani tym. Została liczba 17. 17 jest podzielne przez 1… …i 17. Nie dzieli się przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ani 16. Ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie. 17 jest zatem liczbą pierwszą.