Porównywanie ułamków zwykłych 2 (z różnymi mianownikami)

Użyj znaku „większy”, „mniejszy” lub „równy” aby porównać dwa ułamki: 21/28 i 6/9. Najłatwiej to zrobić sprowadzając je do wspólnego mianownika. Wtedy wystarczy porównać liczniki. Te dwa ułamki mają różne mianowniki. Możemy znaleźć wspólny mianownik dla ich obu i przekształcić je tak, by można było porównać liczniki. Albo jeszcze lepiej, możemy najpierw je uprościć. Zróbmy tak, bo czuję, że tą metodą zrobimy to najszybciej. Zacznijmy od 21/28. Widać, że licznik i mianownik dzielą się przez 7. Podzielmy więc licznik i mianownik przez 7. 21 ÷ 7 w liczniku… i 28 ÷ 7 w mianowniku. Dzieląc i licznik i mianownik przez 7 nie zmieniamy wartości ułamka. 21 ÷ 7 = 3 28 ÷ 7 = 4 Zatem 21/28 równa się 3/4. Po uproszczeniu. Teraz zróbmy to samo z 6/9. 6 i 9 dzielą się przez 3. Podzielmy więc obie liczby przez 3, aby uprościć ten ułamek. Podzielmy licznik i mianownik przez 3. 6 ÷ 3 = 2 9 ÷ 3 = 3 Zatem 21/28 równa się 3/4… To ułamki równoważne. Drugi jest uproszczeniem pierwszego. …a 6/9 to dokładnie to samo co 2/3. Teraz pozostaje porównać oba ułamki. Porównać 3/4 i 2/3. Korzyść z uproszczenia ułamków polega na tym że łatwiej jest znaleźć wspólny mianownik dla 3 i 4, niż dla 28 i 9. Trzeba by mnożyć duże liczby. Te są dużo mniejsze. Najlepszy wspólny mianownik dla tych ułamków to najmniejsza wspólna wielokrotność 4 i 3. 4 i 3 nie mają wspólnych dzielników więc nowy mianownik będzie po prostu ich iloczynem. Zapiszemy więc 3/4 jako ułamek o mianowniku 12 i tak samo potraktujemy 2/3. 12 to wynik mnożenia liczb 3 i 4, bo nie mają one wspólnego dzielnika. Zobaczymy to, jeśli rozłożymy te liczby na czynniki pierwsze. 4 = 2 * 2 3 jest już liczbą pierwszą, więc nie da się jej rozłożyć. Liczba, która zawiera wszystkie czynniki pierwsze 4 i 3 równa się 2 * 2 * 3. Czyli równa się 12. W ten sposób wyliczyliśmy najmniejszą wspólną wielokrotność czyli wspólny mianownik dla 4 i 3. Aby przekształcić 4 w 12… trzeba pomnożyć 4 przez 3. Mnożymy więc mianownik przez 3. Musimy też pomnożyć licznik przez 3. 3 * 3 = 9 Aby przekształcić 3 w 12, mnożymy 3 przez 4. Musimy także pomnożyć licznik przez 4. Otrzymujemy 8. Teraz porównanie ułamków stało się łatwe. 21/28 to dokładnie tyle samo co 9/12. A 6/9 to dokładnie tyle samo co 8/12. Który z tych ułamków jest większy? Mają ten sam mianownik widać więc, że 9/12 jest większe niż 8/12. 9/12 jest większe niż 8/12. Albo, jeśli przypomnimy sobie, że 9/12 to dokładnie to samo, co 21/28 możemy powiedzieć, że 21/28 jest większe niż… 8/12 to jest to samo, co 6/9, więc …jest większe niż 6/9. I zadanie zrobione. Można to rozwiązać inaczej, nie upraszczając ułamków. Spróbujmy, dla zabawy. Gdybyśmy nie zdecydowali się na uproszczenie ułamków… Napiszę je innym kolorem. Mamy 21/28… i 6/9. Znajdźmy najmniejszą wspólną wielokrotność bez upraszczania. Rozkładamy 28 na czynniki. 28 = 2 * 14, a 14 = 2 * 7. 28 gotowe. Rozkład 9 na czynniki to 3 * 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność 28 i 9 wynosi 2 * 2 * 7 * 3 * 3 czyli 28 * 9. Pomnóżmy 28 przez 9. 28 * 9 Można to zrobić na dwa sposoby. Pomnożyć w pamięci 28 * 10, to się równa 280 i odjąć od tego 28, wyjdzie 252… …albo pisemnie, jeśli w pamięci nie umiecie. Zróbmy to tak. 9 * 8 = 72 9 * 2 = 18 18 + 7 = 25. Wpisujemy wynik: 252. Wspólny mianownik to 252. 252 to najmniejsza wspólna wielokrotność 28 i 9. Aby przekształcić 28 w 252, musieliśmy pomnożyć mianownik przez 9. Musieliśmy pomnożyć 28 przez 9. Musimy więc to samo zrobić z licznikiem. 21 * 9, to łatwo policzyć w pamięci. 20 * 9 = 180 wystarczy dodać 9. Wychodzi 189. Aby przekształcić 9 w 252, pomnożyliśmy mianownik przez 28. To samo robimy z licznikiem, aby wartość ułamka nie zmieniła się. 6 * 28. 6 * 20 = 120 6 * 8 = 48 więc wychodzi 168. Policzmy pisemnie, żeby nie było błędu. Liczymy 28 * 6. 8 * 6 = 48 2 * 6 = 12 12 + 4 = 16 Wyszło dobrze, 168. Mamy więc wspólny mianownik, więc możemy porównać liczniki. 189 jest większe niż 168 więc 189/252 jest większe niż 168/252. Ale to jest przecież 21/28. To jest to samo. Czyli 21/28 jest większe niż 6/9.