Główna zawartość
Kurs: Wstęp do analizy matematycznej (wersja z roku 2018) > Rozdział 4
Lekcja 7: Własności dodawania macierzy i mnożenia przez skalaryWprowadzenie do macierzy zerowej
Co to jest macierz zerowa i jaki ma ona związek z dodawaniem i odejmowaniem macierzy oraz z mnożeniem macierzy przez liczbę.
Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji
Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.
Wymiary macierzy określają liczbę jej wierszy i kolumn, zawsze w takim porządku. Macierz ma wiersze i kolumny, a zatem jest to macierz .
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego wprowadzenia do macierzy. Sprawdź także, że umiesz już dodawać i odejmować macierze oraz że umiesz pomnożyć macierz przez liczbę.
Definicja macierzy zerowej
Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe . Poniżej przedstawiono kilka przykładów.
Macierz zerowa:
Macierz zerowa:
Macierz zerową oznaczamy zazwyczaj przez , w razie potrzeby możemy też dodać indeks dolny, wskazujący na wymiary macierzy.
Macierze zerowe mają podobną rolę w operacjach na macierzach jak zero w operacjach na liczbach rzeczywistych. Spójrzmy na przykłady.
Zbadajmy to: co się stanie, gdy dodamy macierz zerową do innej macierzy?
Pamiętaj, że aby dodać do siebie dwie macierze, dodajemy odpowiadające sobie elementy.
Teraz spróbuj rozwiązać kilka zadań polegających na dodawaniu macierzy. Zauważyć, że każdy problem polega na obliczeniu sumy pewnej macierzy i macierzy zerowej.
Podsumowanie
Kiedy dodamy macierz zerową o wymiarach do dowolnej innej macierzy , nazwijmy ją , otrzymamy znowu macierz . Innymi słowy, i .
W tym przypadku wymiary macierzy zerowej nie są podane. Wiemy jednak, że jeśli to równanie ma sens, to wymiary macierzy zerowej muszą być takie same, jak wymiary macierzy .
Pytanie do zastanowienia
Zbadajmy to: co się stanie, gdy dodamy macierz do macierzy przeciwnej?
Macierz przeciwna do macierzy to macierz , czyli taka, w której każdy element jest liczbą przeciwną do odpowiadającego mu elementu macierzy .
Na przykład jeśli , to .
Teraz spróbuj rozwiązać kilka zadań polegających na dodawaniu macierzy. Zauważyć, że każdy problem polega na obliczeniu sumy pewnej macierzy i macierzy do niej przeciwnej.
Podsumowanie
Kiedy dodamy dowolną macierz do macierzy przeciwnej, otrzymamy macierz zerową o wymiarach . To znaczy, dla dowolnej macierzy zachodzi oraz .
Równanie jest także prawdziwe, ponieważ odjęcie macierzy to to samo co dodanie macierzy przeciwnej.
Zbadajmy to: co się stanie, gdy pomnożymy macierz przez (skalar) ?
Mnożenie macierzy przez skalar (liczbę) oznacza, że każdy z elementów macierzy jest pomnożony przez ten skalar.
Teraz spróbuj rozwiązać kilka zadań polegających na mnożeniu macierzy przez skalar. Zauważ, że każdy problem polega na pomnożeniu pewnej macierzy przez skalar .
Podsumowanie
Kiedy pomnożymy dowolną macierz przez skalar , w wyniku otrzymamy macierz zerową .
W zapisie matematycznym, mamy .
Podsumowanie: porównanie macierzy zerowej z liczbą zero
Badając własności macierzy zerowej przekonaliśmy się, że macierz zerowa ma bardzo podobne własności do liczby zero.
W szczególności, istnieją następujące analogie:
Liczba zero | Macierz zerowa | |
---|---|---|
Dodanie zera do dowolnej liczby | Dodanie macierzy zerowej do dowolnej macierzy | |
Suma liczby i liczby przeciwnej wynosi zero. (tzn. | Suma macierzy i macierzy przeciwnej wynosi zero. (tzn. | |
Iloczyn dowolnej liczby i liczby zero równa się zero. (tzn. | Iloczyn macierzy i liczby |
Zrozumienie tych analogii ułatwi wykonanie obliczeń, w których pojawia się macierz zerowa!
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji