Dowiedz się co to są elementarne operacje na wierszach macierzy. Dzięki tym operacjom możemy rozwiązać każdy, nawet najbardziej skomplikowany układ równań liniowych w (stosunkowo) prosty sposób!

Operacje na wierszach macierzy

Poniższa tabela zawiera podsumowanie trzech elementarnych operacji na wierszach macierzy.
Elementarna operacja na wierszach macierzyPrzykład
Zamiana dwóch dowolnych wierszy miejscami
Mnożenie wiersza przez dowolną liczbę różną od zera
Dodawanie do siebie dwóch dowolnych wierszy
Operacje elementarne na wierszach macierzy można wykorzystać w celu rozwiązania układu równań, lecz zanim zobaczymy, jak to się robi, poćwiczmy to, czego się właśnie nauczyliśmy.

Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy

Przykład

Wykonaj operację R1R2R_1 \leftrightarrow R_2 na wierszach następującej macierzy:
[483245712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

Rozwiązanie

R1R2R_\blueD1 \leftrightarrow R_\greenD2 oznacza, że mamy zamieni c miejscami wiersz start color blueD, 1, end color blueD z wierszem start color greenD, 2, end color greenD.
Macierz [483245712]\left[\begin{array} {rrr} \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] po operacji zamiany wierszy staje się macierzą [245483712]\left[\begin{array} {rrr} \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] .
Czasem możesz napotkać następującą notację dla operacji zamiany wierszy miejscami.
Zauważ, że wiersz 1 przenosimy na miejsce wiersza 2, a wiersz 2 przenosimy na miejsce wiersza 1. Trzeci wiersz pozostaje na swoim miejscu.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Wykonaj operację R2R3R_2 \leftrightarrow R_3 na wierszach następującej macierzy:
[7296411312]\left[\begin{array} {rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array} \right]

R2R3R_\blueD2 \leftrightarrow R_\greenD3 oznacza, że mamy zamieni c miejscami wiersz start color blueD, 2, end color blueD z wierszem start color greenD, 3, end color greenD.
Macierz [7296411312]\left[\begin{array} {rrr} {7} &{ 2} & {9} \\ \blueD6 &\blueD{4} &\blueD{1} \\ \greenD{1} & \greenD{3} & \greenD{12} \end{array} \right] po opercji zamiany wierszy staje się macierzą [7291312641]\left[\begin{array} {rrr} {7} &{ 2} & {9} \\ \greenD{1} & \greenD{3} & \greenD{12}\\ \blueD6 &\blueD{4} &\blueD{1} \end{array} \right]
2) Wykonaj operację R3R1R_3 \leftrightarrow R_1 na wierszach następującej macierzy:
[211572180410]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 11 & -5 \\ 7 & 2 & 18 \\ 0& -4 & 10 \end{array} \right]

R3R1R_\blueD3 \leftrightarrow R_\greenD1 oznacza, że mamy zamieni c miejscami wiersz start color blueD, 3, end color blueD z wierszem start color greenD, 1, end color greenD.
Macierz [211572180410]\left[\begin{array} {rrr} \greenD{2} & \greenD{11} & \greenD{-5} \\ 7 & 2 & 18 \\ \blueD0&\blueD{ -4} & \blueD{10} \end{array} \right] po operacji zamiany wierszy wygląda tak: [041072182115]\left[\begin{array} {rrr} \blueD0&\blueD{ -4} & \blueD{10} \\ 7 & 2 & 18 \\ \greenD{2} & \greenD{11} & \greenD{-5}\end{array} \right]

Pomnóż wiersz macierzy przez stałą, różną od 0

Przykład

Wykonaj operację 3, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript na wierszach następującej macierzy:
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

Rozwiązanie

Polecenie start color maroonD, 3, end color maroonD, R, start subscript, start color goldD, 2, end color goldD, end subscript, right arrow, R, start subscript, start color goldD, 2, end color goldD, end subscript oznacza zastąpienie start color goldD, 2, end color goldD wiersza przez ten wiersz pomnożony przez start color maroonD, 3, end color maroonD:
Macierz[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \goldD{2} & \goldD{3} & \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] po operacji podstawienia ma postać [661323330459]=[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \maroonD{3}\cdot \goldD{2} &\maroonD{3}\cdot \goldD{3} &\maroonD{3}\cdot \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] =\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
Taka operacja na wierszach macierzy jest zazwyczaj oznaczana w ten sposób:
Zauważ, że zastępujemy drugi wiersz przez wynik mnożenia drugiego wiersza przez trzy. Dwa pozostałe wiersze pozostają niezmienione.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Wykonaj operację 2, R, start subscript, 1, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript na wierszach następującej macierzy:
[26517480]\left[\begin{array} {ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right]

Polecenie start color maroonD, 2, end color maroonD, R, start subscript, start color goldD, 1, end color goldD, end subscript, right arrow, R, start subscript, start color goldD, 1, end color goldD, end subscript oznacza zastąpienie start color goldD, 1, end color goldD wiersza przez ten sam wiersz pomnożony przez start color maroonD, 2, end color maroonD:
Macierz [26517480]\left[\begin{array} {rr} \goldD2 & \goldD6 & \goldD5 & \goldD1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right] po operacji podstawienia ma postać [222625217480]=[4121027480]\left[\begin{array} {rr} \maroonD2\cdot \goldD2 & \maroonD2\cdot\goldD6 & \maroonD2\cdot\goldD5 &\maroonD2\cdot \goldD1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right] =\left[\begin{array} {rr} 4 & 12 & 10 & 2 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right]
4) Wykonaj operację minus, 5, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 3, end subscript na wierszach następującej macierzy:
[217436]\left[\begin{array} {rr} -2 & 1 \\ 7 & 4 \\ -3&6 \end{array} \right]

Polecenie start color maroonD, minus, 5, end color maroonD, R, start subscript, start color goldD, 3, end color goldD, end subscript, right arrow, R, start subscript, start color goldD, 3, end color goldD, end subscript oznacza zastąpienie start color goldD, 3, end color goldD przez ten sam wiersz, pomnożony przez start color maroonD, minus, 5, end color maroonD.
Macierz[217436]\left[\begin{array} {rr} -2 & 1 \\ 7 & 4 \\ \goldD{-3}&\goldD{6} \end{array} \right] po operacji podstawienia ma postać [21745(3)56]=[21741530]\left[\begin{array} {rr} -2 & 1 \\ 7 & 4 \\ \maroonD{-5}\cdot (\goldD{-3})&\maroonD{-5}\cdot\goldD{6} \end{array} \right]= \left[\begin{array} {rr} -2 & 1 \\ 7 & 4 \\ 15&-30 \end{array} \right]

Dodawanie wierszy do siebie

Przykład

Wykonaj operację R, start subscript, 1, end subscript, plus, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript na wierszach następującej macierzy:
[234081]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right]

Rozwiązanie

Polecenie R, start subscript, start color tealD, 1, end color tealD, end subscript, plus, R, start subscript, start color purpleC, 2, end color purpleC, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript oznacza zastąpienie 2 wiersza przez sumę start color tealD, 1, end color tealD i start color purpleC, 2, end color purpleC wiersza.
Macierz[234081]\left[\begin{array} {rrr} \tealD2 & \tealD{3} &\tealD{ 4}\\ \purpleC0 & \purpleC8 & \purpleC1 \end{array} \right] po operacji podstawienia ma postać [2342+03+84+1]=[2342115]\left[\begin{array} {lll} \tealD2 &{\tealD3} &{ \tealD4}\\ \tealD2+\purpleC0 & \tealD3+\purpleC8 & \tealD4 +\purpleC1 \end{array} \right]= \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
Taka operacja na wierszach macierzy jest zazwyczaj oznaczana w ten sposób:
Zauważ, że zastępujemy drugi wiersz przez sumę pierwszego i drugiego wiersza przez trzy. Pozostały wiersz pozostaje niezmieniony.

Sprawdź, czy rozumiesz

5) Wykonaj operację R, start subscript, 1, end subscript, plus, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 3, end subscript na wierszach następującej macierzy:
[162350721]\left[\begin{array} {rrr} -1 & 6 & -2 \\ -3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array} \right]

Polecenie R, start subscript, start color tealD, 1, end color tealD, end subscript, plus, R, start subscript, start color purpleD, 3, end color purpleD, end subscript, right arrow, R, start subscript, 3, end subscript oznacza zastąpienie 3 wiersza przez sumę start color tealD, 1, end color tealD i start color purpleD, 3, end color purpleD wiersza.
Macierz[162350721]\left[\begin{array} {rrr} \tealD{-1} & \tealD6 & \tealD{-2} \\ -3 & 5 & 0 \\ \purpleD{7} & \purpleD{2} & \purpleD{1} \end{array} \right] po operacji podstawienia ma postać [1623501+76+22+1]=[162350681]\left[\begin{array} {rrr} {-1} & 6 & 2 \\ -3 & 5 & 0 \\ \tealD{-1}+\purpleD7 &\tealD6+ \purpleD{2} & \tealD{-2}+\purpleD{1} \end{array} \right]=\left[\begin{array} {rrr} -1 & 6 & -2 \\ -3 & 5 & 0 \\ 6 & 8 & -1 \end{array} \right]
6) Wykonaj operację R, start subscript, 2, end subscript, plus, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript na wierszach następującej macierzy:
[41297421510]\left[\begin{array} {rrr} -4 & 12 & 9 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 10 \end{array} \right]

Polecenie R, start subscript, start color tealD, 2, end color tealD, end subscript, plus, R, start subscript, start color purpleD, 3, end color purpleD, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript oznacza zastąpienie 2 wiersza przez sumę start color tealD, 2, end color tealD i start color purpleD, 3, end color purpleD wiersza.
Macierz[41297421510]\left[\begin{array} {rrr} -4 & 12 & 9 \\ \tealD7 & \tealD4 & \tealD2 \\ \purpleD1 & \purpleD5 & \purpleD{10} \end{array} \right] po operacji podstawienia ma postać [41297+14+52+101510]=[412989121510]\left[\begin{array} {rrr} -4 & 12 & 9 \\ \tealD7+\purpleD1 & \tealD4+\purpleD5 & \tealD2+\purpleD{10} \\ 1 & 5 & {10} \end{array} \right] =\left[\begin{array} {rrr} -4 & 12 & 9 \\ 8 & 9 & 12 \\ 1 & 5 & 10 \end{array} \right]

Sprawdź, czy rozumiesz

7) Wykonaj operację R, start subscript, 1, end subscript, plus, 2, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript na wierszach następującej macierzy:
[573214886]\left[\begin{array} {rrr} -5 & 7 & 3 \\ -2 & -1 & 4 \\ 8 & 8 & -6 \end{array} \right]

To zadanie polega na połączeniu dwóch operacji na wierszach, które dotychczas wykonywaliśmy oddzielnie – mnożenia wiersza przez liczbę i dodawania wierszy.
Polecenie R, start subscript, 1, end subscript, plus, 2, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript oznacza zastąpienie 1 wiersza przez sumę 1 i wiersza, otrzymanego przez pomnożenie 3 wiersza przez dwa.
Możemy to zrobić w następujący sposób:
Mamy więc:

Układy równań i operacja na wierszach macierzy

Przypomnijmy, że w macierzy rozszerzonej każdy wiersz reprezentuje jedno równanie, a każda kolumna reprezentuje zmienną lub stały wyraz.
Na przykład, układ równań po lewej odpowiada macierzy rozszerzonej po prawej stronie.
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} 1x+3y &={5} \\ {2}x+{5}y &={6} \end{aligned}\qquad\longrightarrow [135256]\qquad \left[\begin{array}{rr}{1} & {3} &{ 5} \\ {2} & {5} & {6} \end{array}\right]
W przypadku macierzy rozszerzonej, po wykonaniu dowolnej elementarnej operacji na wierszach macierzy otrzymamy nową macierz rozszerzoną odpowiadającą układowi równań, który jest równoważny - to znaczy ma te same rozwiązania - co układ wyjściowy. Zobaczmy teraz, dlaczego.

Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy

Equivalent SystemsAugmented matrix
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \\\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6} \end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{rr}{1} & {3} &{ 5} \\ {2} & {5} & {6} \end{array}\right]
\downarrow
2x+5y=61x+3y=5\begin{aligned}\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6}\\ \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \end{aligned}[256135]\left[\begin{array}{rr} {2} & {5} & {6}\\{1} & {3} &{ 5} \end{array}\right]
Dwa układy równań przedstawione powyżej są równoważne, ponieważ kolejność równań nie ma żadnego znaczenia. W języku macierzy rozszerzonej oznacza to, że możemy zamienić miejscami dowolne dwa wiersze.

Pomnóż wiersz macierzy przez stałą, różną od 0

Jeśli pomnożymy obie strony równania przez tą samą liczbę, różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne wyjściowemu równaniu.
Rozwiązując układy równań często korzystamy z tego, aby wyeliminować jedną z niewiadomych. Skoro te dwa równania są równoważne, nowy układ równań jest równoważny wyjściowemu.
Equivalent SystemsAugmented matrix
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \maroonD1x+\maroonD3y &=\maroonD5 \\{2}x+{{5}}y &={ 6} \end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{rr}{\maroonD1} & {\maroonD3} &{ \maroonD5} \\ {2} & {5} & {6} \end{array}\right]
\downarrow
2x+(6)y=102x+      5y=6\begin{aligned}\goldD{-2}x+(\goldD{-6})y &=\goldD{-10} \\{2}x+~~~~~~{{5}}y &={ 6} \end{aligned} [2610256]\left[\begin{array}{rr}{\goldD{-2}}& {\goldD{-6}} &{ \goldD{-10}} \\ {2} & {5} & {6} \end{array}\right]
Dwa układy równań przedstawione powyżej są równoważne, ponieważ pomnożenie obu stron jednego z równań przez różną od zera stałą daje w wyniku równoważny układ równań. W języku macierzy rozszerzonej oznacza to, że możemy pomnożyć dowolny wiersz przez stałą, różną od zera liczbę.

Dodawanie wierszy do siebie

Wiemy, że do obu stron równania możemy dodać tą samą wielkość i równanie będzie nadal prawdziwe.
A zatem, jeśli A, equals, B oraz C, equals, D, to A, plus, C, equals, B, plus, D.
Często postępujemy w ten sposób, rozwiązując układy równań. Na przykład w układzie 2x6y=102x+5y=6\begin{aligned}-2x-6y &=-10 \\ {2}x+{{5}}y &={6}\end{aligned}, możemy dodać równania do siebie, otrzymując minus, y, equals, minus, 4.
Łącząc to nowe równanie z jednym z równań wyjściowego układu, otrzymamy równoważny układ równań.
Gdy dodamy do siebie dwa równania należące do wyjściowego układu równań, otrzymamy równanie minus, y, equals, minus, 4, czyli y, equals, 4. Ale pozostałe równania nigdzie nie zaginęły; wykorzystamy je, aby obliczyć x.
W wyniku wyboru jednego z dwóch równań powstanie układ równań równoważny wyjściowemu układowi. W poniższej tabeli wykorzystaliśmy pierwsze, górne równanie wyjściowego układu.
Equivalent SystemsAugmented matrix
2x6y=102x+5y=6\begin{aligned} -2x-6y &=-10\\{2}x+{{5}}y &={6} \end{aligned} [2610256]\left[\begin{array}{rrr}{-2} & {-6} &{ -10} \\ {2} & {5} & {6} \end{array}\right]
\downarrow
2x+(6)y=100x+(1)y=4\begin{aligned}-2x+(-6)y &=-10\\\purpleC0x+(\purpleC{-1})y &=\purpleC{-4} \end{aligned}[2610014]\left[\begin{array}{rr} {-2} & {-6} & {-10}\\{0} & {-1} &{ -4} \end{array}\right]
Dwa układy równań przedstawione powyżej są równoważne, ponieważ dodanie do siebie dwóch równań daje w wyniku równoważny układ równań. W języku macierzy rozszerzonej oznacza to, że możemy dodać do siebie dwa dowolnie wybrane wiersze.

Wyzwanie na podsumowanie

8*) W macierzy [2210233]\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right] wykonano sekwencje elementarnych operacji na wierszach. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki kolejnych kroków.
Przyporządkuj operacje na wierszach do poszczególnych kroków.
Macierz wyjściowa: [2210233]\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right]
Krok
Operacja na wierszu
  • Krok 1: [22100113]\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{10} \\ {0} & {-1} & {13} \end{array}\right]
  • Krok 2: [1150113]\left[\begin{array}{rrr}{1} & {1} &{ 5} \\ {0} & {-1} & {13} \end{array}\right]
  • Krok 3: [1150113]\left[\begin{array}{rrr}{1} & {1} &{ 5} \\ {0} & {1} & {-13} \end{array}\right]
  • Krok 4: [10180113]\left[\begin{array}{rrr}{1} & {0} &{ 18} \\ {0} & {1} & {-13} \end{array}\right]
  • R, start subscript, 1, end subscript, minus, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript
  • start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, R, start subscript, 1, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript
  • R, start subscript, 1, end subscript, plus, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript
  • minus, 1, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript

Cała sekwencja operacji na wierszach wygląda następująco:
Zauważ, że wyjściowa macierz odpowiada macierzy rozszerzonej układu równań 2x+2y=102x3y=3\begin{aligned} 2x+2y &={10} \\ {-2}x-3y &={ 3} \end{aligned}, natomiast wynik odpowiada x=18y=13\begin{aligned} x&=18 \\ y&=-13 \end{aligned}, czyli po prostu rozwiązaniu tego układu.
Rozwiązaliśmy układ równań dokonując elementarnych operacji na wierszach macierzy rozszerzonej układu!