Co to jest macierz zerowa i jaki ma ona związek z dodawaniem i odejmowaniem macierzy oraz z mnożeniem macierzy przez liczbę.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.
Wymiary macierzy określają liczbę jej wierszy i kolumn, zawsze w takim porządku. Macierz A ma 2 wiersze i 3 kolumny, a zatem jest to macierz 2, times, 3.
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego wprowadzenia do macierzy. Sprawdź także, że umiesz już dodawać i odejmować macierze oraz że umiesz pomnożyć macierz przez liczbę.

Definicja macierzy zerowej

Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe 0. Poniżej przedstawiono kilka przykładów.
Macierz zerowa 3, times, 3: O3×3=[000000000]\qquad O_{3\times 3}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array}\right]
Macierz zerowa 2, times, 4: O2×4=[00000000]\qquad O_{2\times 4}=\left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 &0&0 \\ 0 & 0&0&0 \end{array}\right]
Macierz zerową oznaczamy zazwyczaj przez O, w razie potrzeby możemy też dodać indeks dolny, wskazujący na wymiary macierzy.
Macierze zerowe mają podobną rolę w operacjach na macierzach jak zero w operacjach na liczbach rzeczywistych. Spójrzmy na przykłady.

Zbadajmy to: co się stanie, gdy dodamy macierz zerową do innej macierzy?

Pamiętaj, że aby dodać do siebie dwie macierze, dodajemy odpowiadające sobie elementy.
Na przykład:
[3724]+[5281]=[3+57+22+84+1]=[89105]\begin{aligned}{\left[\begin{array}{rr}{\blueD3} &\blueD7 \\ \blueD2& \blueD4 \end{array}\right]}+\left[\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2 \\ \greenD8& \greenD1 \end{array}\right]&={\left[\begin{array}{rr}{\blueD3+\greenD5} &\blueD7+\greenD2 \\\blueD2+\greenD8& \blueD4+\greenD1 \end{array}\right]} \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{8} &9 \\ 10& 5 \end{array}\right]\\ \end{aligned}
Teraz spróbuj rozwiązać kilka zadań polegających na dodawaniu macierzy. Zauważyć, że każdy problem polega na obliczeniu sumy pewnej macierzy i macierzy zerowej.
1)
[4513]+[0000]=\left[\begin{array}{rr}{4} &5 \\ 1& 3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0 \end{array}\right]=

[4513]+[0000]=[4+05+01+03+0]=[4513]\begin{aligned}\left[\begin{array}{rr}{4} &5 \\ 1& 3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{4+0} &5+0 \\ 1+0& 3+0 \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{4} &5 \\ 1& 3 \end{array}\right] \end{aligned}
2)
[000000]+[234817]=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0\\0&0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{-2} &3 \\ 4& 8 \\-1&7 \end{array}\right]=

[000000]+[234817]=[0+(2)0+30+40+80+(1)0+7]=[234817]\begin{aligned}\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0\\0&0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{-2} &3 \\ 4& 8 \\-1&7 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{0+(-2)} &0+3 \\ 0+4& 0+8 \\0+(-1)&0+7 \end{array}\right]\\ \\ &=\left[\begin{array}{rr}{-2} &3 \\ 4& 8 \\-1&7 \end{array}\right] \end{aligned}

Podsumowanie

Kiedy dodamy macierz zerową o wymiarach m, times, n do dowolnej innej macierzy m, times, n, nazwijmy ją A, otrzymamy znowu macierz A. Innymi słowy, A, plus, O, equals, A i O, plus, A, equals, A.
W tym przypadku wymiary macierzy zerowej nie są podane. Wiemy jednak, że jeśli to równanie ma sens, to wymiary macierzy zerowej muszą być takie same, jak wymiary macierzy A.

Pytanie do zastanowienia

Jakie wymiary ma macierz zerowa w równaniu B, plus, O, equals, B, jeśli B=[256818]B=\left[\begin{array}{rr}{-2} &5 &6 \\ 8& 1&8 \end{array}\right]?
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i
times
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i

B=[256818]B=\left[\begin{array}{rr}{-2} &5 &6 \\ 8& 1&8 \end{array}\right] jest macierzą 2, times, 3 matrix. Wiemy, że B, plus, O, equals, B, a zatem suma B i macierzy zerowej jest dobrze określona. Oznacza to, że O musi mieć te same wymiary, co macierz B. Czyli O musi być zerową macierzą 2, times, 3.

Zbadajmy to: co się stanie, gdy dodamy macierz do macierzy przeciwnej?

Macierz przeciwna do macierzy A to macierz minus, A, czyli taka, w której każdy element jest liczbą przeciwną do odpowiadającego mu elementu macierzy A.
Na przykład jeśli A=[4162]A=\left[\begin{array}{rr}{4} &1 \\ -6& 2 \end{array}\right], to A=[4162]-A=\left[\begin{array}{rr}{-4} &-1 \\ 6& -2 \end{array}\right].
Teraz spróbuj rozwiązać kilka zadań polegających na dodawaniu macierzy. Zauważyć, że każdy problem polega na obliczeniu sumy pewnej macierzy i macierzy do niej przeciwnej.
3)
[4387]+[4387]=\left[\begin{array}{rr}{4} &-3 \\ 8& 7 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{-4} &3 \\ -8& -7 \end{array}\right]=

[4387]+[4387]=[4+(4)3+38+(8)7+(7)]=[0000]\begin{aligned}\left[\begin{array}{rr}{4} &-3 \\ 8& 7 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{-4} &3 \\ -8& -7 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{4+(-4)} &-3+3 \\ 8+(-8)& 7+(-7)\end{array}\right]\\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right]\end{aligned}

Podsumowanie

Kiedy dodamy dowolną macierz m, times, n do macierzy przeciwnej, otrzymamy macierz zerową o wymiarach m, times, n. To znaczy, dla dowolnej macierzy A zachodzi A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O oraz minus, A, plus, A, equals, O.
Równanie A, minus, A, equals, O jest także prawdziwe, ponieważ odjęcie macierzy to to samo co dodanie macierzy przeciwnej.
Odejmowanie macierzy to to samo co dodawanie macierzy przeciwnej. Innymi słowy, jeśli mamy dane dwie macierze A i B, to A, minus, B, equals, A, plus, left parenthesis, minus, B, right parenthesis.
Poniższy przykład ilustruje to stwierdzenie.
Załóżmy, że A=[2435]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &4\\ 3& 5\end{array}\right] oraz, że B=[5164]B=\left[\begin{array}{rr}{5} &1\\ 6& 4\end{array}\right].

Zbadajmy to: co się stanie, gdy pomnożymy macierz przez (skalar) 0?

Mnożenie macierzy przez skalar (liczbę) oznacza, że każdy z elementów macierzy jest pomnożony przez ten skalar.
W świecie macierzy, na liczby rzeczywiste mówimy skalary.
Wyrażenie mnożenie macierzy przez skalar oznacza mnożenie macierzy przez liczbę.
Na przykład:
2[5231]=[25222321]=[10462]\begin{aligned}\goldD{2}\cdot{\left[\begin{array}{rr}{5} &2 \\ 3& 1 \end{array}\right]}&={\left[\begin{array}{ll}{\goldD2 \cdot5} &\goldD2\cdot 2 \\ \goldD2\cdot3& \goldD2\cdot1 \end{array}\right]}\\\\\\ &={\left[\begin{array}{rr}{10} &4 \\ 6&2 \end{array}\right]}\end{aligned}
Teraz spróbuj rozwiązać kilka zadań polegających na mnożeniu macierzy przez skalar. Zauważ, że każdy problem polega na pomnożeniu pewnej macierzy przez skalar 0.
5)
0[5491]=0\cdot {\left[\begin{array}{rr}{5} &4 \\ 9&1 \end{array}\right]}=

0[5491]=[05040901]=[0000]\begin{aligned}0\cdot {\left[\begin{array}{rr}{5} &4 \\ 9&1 \end{array}\right]}&=\left[\begin{array}{rr}{0\cdot 5} &0\cdot 4 \\ 0\cdot 9&0\cdot 1 \end{array}\right]\\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right]\end{aligned}
6)
0[2410715342]=0\cdot {\left[\begin{array}{rrr}{-2} &4 &10 \\ 7&-1&5\\-3&4&2 \end{array}\right]}=

0[2410715342]=[0(2)04010070(1)050(3)0402]=[000000000]\begin{aligned}0\cdot {\left[\begin{array}{rrr}{-2} &4 &10 \\ 7&-1&5\\-3&4&2 \end{array}\right]}&=\left[\begin{array}{rrr}{0\cdot (-2)} &0\cdot 4 &0\cdot 10 \\ 0\cdot 7&0\cdot (-1)&0\cdot 5\\0\cdot (-3)&0\cdot 4&0\cdot 2 \end{array}\right]\\\\ &=\left[\begin{array}{rrr}{0} &0 &0 \\ 0&0&0\\0&0&0 \end{array}\right]\end{aligned}

Podsumowanie

Kiedy pomnożymy dowolną macierz m, times, n przez skalar 0, w wyniku otrzymamy macierz zerową m, times, n.
W zapisie matematycznym, mamy 0, A, equals, O.

Podsumowanie: porównanie macierzy zerowej z liczbą zero

Badając własności macierzy zerowej przekonaliśmy się, że macierz zerowa ma bardzo podobne własności do liczby zero.
W szczególności, istnieją następujące analogie:
Liczba zeroMacierz zerowa
Dodanie zera do dowolnej liczby a daje tę samą liczbę a. (tzn. )Dodanie macierzy zerowej do dowolnej macierzy A daję tę samą macierz A. (tzn. A, plus, O, equals, O, plus, A, equals, A)
Suma liczby i liczby przeciwnej wynosi zero. (tzn. a, plus, left parenthesis, minus, a, right parenthesis, equals, 0)Suma macierzy i macierzy przeciwnej wynosi zero. (tzn. A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O)
Iloczyn dowolnej liczby i liczby zero równa się zero. (tzn. a, dot, 0, equals, 0).Iloczyn macierzy i liczby 0 daje w wyniku macierz zerową. (tzn. 0, A, equals, O)
Zrozumienie tych analogii ułatwi wykonanie obliczeń, w których pojawia się macierz zerowa!