Dowiedz się czym jest macierz jednostkowa i jaka jest jej rola w mnożeniu macierzy.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.
Wymiary macierzy określają liczbę jej wierszy i kolumn, zawsze w takim porządku. Macierz AA ma 22 wiersze i 33 kolumny, a zatem jest to macierz 2×32\times 3.
Jeśli masz poczucie, że ten materiał jest zupełnie nowy dla Ciebie, zajrzyj do rozdziału wprowadzenie do macierzy.
W mnożeniu macierzy każda wartość w macierzy wynikowej jest iloczynem skalarnym wiersza w pierwszej macierzy i kolumny w drugiej macierzy.
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego artykułu o mnożeniu macierzy.

Definicja macierzy jednostkowej

Macierz jednostkowa n×nn\times n , oznaczona jako InI_n, ma nn rzędów i nn kolumn. Elementy po przekątnej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu to same 11, a pozostałe elementy są równe 00.
Na przykład:
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 \\ 0& \greenD1 \end{array}\right]\quad I_3=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0 \\ 0& \greenD1&0\\0&0&\greenD1 \end{array}\right]\quad I_4=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0&0 \\ 0& \greenD1&0&0\\0&0&\greenD1&0\\0&0&0&\greenD1 \end{array}\right]
Macierz jednostkowa odgrywa podobną rolę w działaniach na macierzach, co liczba 11 odgrywa w działaniach na liczbach rzeczywistych. Przyjrzyjmy się temu.

Zbadajmy to: mnożenie przez macierz jednostkową

Spróbuj zrobić kilka zadań z mnożeniem zawierającym odpowiednią macierz jednostkową.

Podsumowanie

The product of any square matrix and the appropriate identity matrix is always the original matrix, regardless of the order in which the multiplication was performed! In other words, AI=IA=AA\cdot I=I\cdot A=A.

Związek z liczbami rzeczywistymi

Elementy neutralne mnożenia

Macierz jednostkowa II odgrywa podobną rolę, jaką liczba 11 odgrywa w świecie liczb rzeczywistych.
The number 11The identity matrix II
The product of 11 and any number aa is aa. (a1=1a=a)(a\cdot 1=1\cdot a=a)The product of a square matrix AA and the appropriate identity matrix II is AA. (AI=IA=A)(A\cdot I=I\cdot A=A)

Elementy odwrotne mnożenia

Dwie liczby rzeczywiste, których iloczyn jest elementem neutralnym mnożenia, czyli po prostu jedynką, nazywamy elementami odwrotnymi mnożenia. Na przykład, liczby 13\dfrac13 i 33 są elementami odwrotnymi, ponieważ 133=1\dfrac{1}{3}\cdot 3=1 oraz 313=13\cdot \dfrac13=1.
Wszystkie liczby rzeczywiste różne od zera posiadają liczby odwrotne względem mnożenia. Czy przez analogię jest to prawdą także w stosunku do macierzy?
Rozważmy dwie macierze AA oraz BB.
A=[2334]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 3& 4 \end{array}\right] \quad B=[4332]B=\left[\begin{array}{rr}{-4} &3 \\ 3& -2 \end{array}\right]
Mnożąc je, możemy sprawdzić że AB=I2A B=I_2 oraz BA=I2BA=I_2.
Oznacza to, że AA i BB są elementami odwrotnymi względem mnożenia macierzy.
Jednakże, jak się przekonamy wkrótce, nie każda macierz posiada macierz odwrotną. Jest to jeden z przypadków, w których własności macierzy różnią się od własności liczb rzeczywistych!
Ładowanie