Dowiedz się czym jest macierz jednostkowa i jaka jest jej rola w mnożeniu macierzy.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.
Wymiary macierzy określają liczbę jej wierszy i kolumn, zawsze w takim porządku. Macierz AA ma 22 wiersze i 33 kolumny, a zatem jest to macierz 2×32\times 3.
Jeśli masz poczucie, że ten materiał jest zupełnie nowy dla Ciebie, zajrzyj do rozdziału wprowadzenie do macierzy.
W mnożeniu macierzy każda wartość w macierzy wynikowej jest iloczynem skalarnym wiersza w pierwszej macierzy i kolumny w drugiej macierzy.
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego artykułu o mnożeniu macierzy.

Definicja macierzy jednostkowej

Macierz jednostkowa n×nn\times n , oznaczona jako InI_n, ma nn rzędów i nn kolumn. Elementy po przekątnej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu to same 11, a pozostałe elementy są równe 00.
Na przykład:
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 \\ 0& \greenD1 \end{array}\right]\quad I_3=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0 \\ 0& \greenD1&0\\0&0&\greenD1 \end{array}\right]\quad I_4=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0&0 \\ 0& \greenD1&0&0\\0&0&\greenD1&0\\0&0&0&\greenD1 \end{array}\right]
Macierz jednostkowa odgrywa podobną rolę w działaniach na macierzach, co liczba 11 odgrywa w działaniach na liczbach rzeczywistych. Przyjrzyjmy się temu.

Zbadajmy to: mnożenie przez macierz jednostkową

Spróbuj zrobić kilka zadań z mnożeniem zawierającym odpowiednią macierz jednostkową.

Podsumowanie

Iloczyn dowolnej macierzy i odpowiedniej macierzy jednostkowej to zawsze początkowa macierz, niezależnie od kolejności, w jakiej wykonujemy mnożenie! Innymi słowy, AI=IA=AA\cdot I=I\cdot A=A.

Związek z liczbami rzeczywistymi

Elementy neutralne mnożenia

Macierz jednostkowa II odgrywa podobną rolę, jaką liczba 11 odgrywa w świecie liczb rzeczywistych.
Liczba 11Macierz jednostkowa II
Iloczyn 11 i dowolnej liczby aa wynosi aa. (a1=1a=a)(a\cdot 1=1\cdot a=a)Iloczyn macierzy AA i odpowiedniej macierzy jednostkowej II wynosi AA. (AI=IA=A)(A\cdot I=I\cdot A=A)

Elementy odwrotne mnożenia

Dwie liczby rzeczywiste, których iloczyn jest elementem neutralnym mnożenia, czyli po prostu jedynką, nazywamy elementami odwrotnymi mnożenia. Na przykład, liczby 13\dfrac13 i 33 są elementami odwrotnymi, ponieważ 133=1\dfrac{1}{3}\cdot 3=1 oraz 313=13\cdot \dfrac13=1.
Wszystkie liczby rzeczywiste różne od zera posiadają liczby odwrotne względem mnożenia. Czy przez analogię jest to prawdą także w stosunku do macierzy?
Rozważmy dwie macierze AA oraz BB.
A=[2334]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 3& 4 \end{array}\right] \quad B=[4332]B=\left[\begin{array}{rr}{-4} &3 \\ 3& -2 \end{array}\right]
Mnożąc je, możemy sprawdzić że AB=I2A B=I_2 oraz BA=I2BA=I_2.
Oznacza to, że AA i BB są elementami odwrotnymi względem mnożenia macierzy.
Jednakże, jak się przekonamy wkrótce, nie każda macierz posiada macierz odwrotną. Jest to jeden z przypadków, w których własności macierzy różnią się od własności liczb rzeczywistych!
Ładowanie