Dowiedz się jakie warunki muszą zostać spełnione, żeby mnożenie macierzy było określone, oraz o wymiarach iloczynu dwóch macierzy.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Liczby te nazywamy elementami macierzy lub wyrazami macierzy.
Wymiary macierzy określają liczbę jej wierszy i kolumn, zawsze w takim porządku. Macierz AA ma 22 wiersze i 33 kolumny, a zatem jest to macierz 2×32\times 3.
Jeśli masz poczucie, że ten materiał jest zupełnie nowy dla Ciebie, zajrzyj do rozdziału wprowadzenie do macierzy.
W mnożeniu macierzy każda wartość w macierzy wynikowej jest iloczynem skalarnym wiersza w pierwszej macierzy i kolumny w drugiej macierzy.
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego artykułu o mnożeniu macierzy.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Będziemy badać związek pomiędzy wymiarami dwóch macierzy a wymiarami ich iloczynu. Przyjrzymy się szczególnie temu, że macierze muszą spełniać określone warunki żeby ich mnożenie było określone.

Kiedy mnożenie macierzy jest dobrze określone?

Żeby mnożenie macierzy było określone, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.
Żeby przekonać się dlaczego, weźmy na przykład następujące dwie macierze:
A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right], oraz B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{1} &3&2&2 \\ 2& 4&5&1 \end{array}\right]
To find ABAB, we take the dot product of a row in AA and a column in BB. This means that the number of entries in each row of AA must be the same as the number of entries in each column of BB.
A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{\maroonC1} &\maroonC3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right], a B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{\maroonC1} &3&2&2 \\ \maroonC2& 4&5&1 \end{array}\right]
Zauważ, że jeśli macierz ma po dwa elementy w każdym wierszu, to macierz ma dwie kolumny. Podobnie, jeśli macierz ma po dwa elementy w każdej kolumnie, to musi mieć dwa wiersze.
Wynika więc z tego, że żeby mnożenie macierzy było określone, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) AA to macierz 4×24\times 2, a BB to macierz 2×32\times 3.

Własności wymiarów przy mnożeniu macierzy

Iloczyn macierzy m×n\blueD m\times \maroonC n i macierzy n×k\maroonC n\times \goldD k daje macierz m×k\blueD m\times \goldD k.
Rozwarzmy iloczyn ABAB, gdzie A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right], a B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{1} &3&2&2 \\ 2& 4&5&1 \end{array}\right].
Z powyższego wynika, że macierz ABAB jest zdefiniowana, ponieważ liczba kolumn A3×2A_{\blueD3\times\maroonC2} (2)(\maroonC2) pasuje do liczby wierszy B2×4B_{\maroonC2\times\goldD4} (2)(\maroonC2).
Żeby znaleźć ABAB, musimy obliczyć iloczyn skalarny każdego wiersza w macierzy AA z każdą kolumną macierzy BB. Tak więc powstała macierz będzie miała taką samą liczbę wierszy co macierz A3×2A_{\blueD3\times\maroonC2} (3)(\blueD3) i taką samą liczbę kolumn co macierz B2×4B_{\maroonC2\times\goldD4} (4)(\goldD4). Będzie to macierz 3×4\blueD3\times \goldD4.

Sprawdź, czy rozumiesz

Ładowanie