Przedstawiamy własności mnożenia macierzy (na przykład rozdzielność względem dodawania) i dyskutujemy ich związki z dobrze Ci znanymi własnościami mnożenia liczb rzeczywistych.

Własności mnożenia macierzy

W tej tabeli, AA, BB i CC to macierze n×nn\times n, II to macierz jednostkowa n×nn\times n, a OO to macierz zerowa n×nn\times n
WłasnośćPrzykład
Przemienność mnożenia nie działa!\small{\red{\text{nie działa!}}}ABBAAB ≠ BA
Łączność mnożenia(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
Rozdzielność A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA
Element neutralny IA=AIA=A i AI=AAI=A
Własność mnożenia przez zeroOA=OO A=O i AO=OAO=O
Dopasowanie wymiarówIloczyn macierzy m×nm\times n i macierzy n×kn\times k to macierz m×km\times k .           ~~~~~~~~~\neq
Spójrzmy na mnożenie macierzy i przyjrzyjmy się tym własnościom.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

W mnożeniu macierzy każda wartość w macierzy wynikowej jest iloczynem skalarnym wiersza w pierwszej macierzy i kolumny w drugiej macierzy.
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego artykułu o mnożeniu macierzy.
Tutaj są inne ważne artykuły:

Mnożenie macierzy nie jest przemienne

Jedną z największych różnic pomiędzy mnożeniem liczb rzeczywistych a mnożeniem macierzy jest to, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Innymi słowy, w mnożeniu macierzy kolejność ich mnożenia ma znaczenie!

Przekonaj się!

Zobaczmy konkretny przykład z następującymi macierzami.
A=[3412]A=\left[\begin{array}{rr}{3} &4 \\ 1&2 \end{array}\right] \quad B=[6232]B=\left[\begin{array}{rr}{6} &2 \\ 3& 2 \end{array}\right]
Zauważ, że wyniki nie są takie same! Ponieważ ABAB nie jest równe BABA, mnożenie macierzy nie jest przemienne! \neq
Poza tą dużą różnicą własności mnożenia macierzy są jednak w większości podobne do własności mnożenia liczb rzeczywistych.

Łączność mnożenia: (AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)

Z tej własności wynika, że możesz zmienić pogrupowanie w mnożeniu macierzy.
Możesz na przykład pomnożyć macierz AA przez macierz BB, a następnie pomnożyć wynik przez macierz CC, albo możesz pomnożyć macierz BB przez macierz CC, a potem pomnożyć wynik przez macierz AA.
Kiedy używamy tej własności, musimy zwrócić uwagę w jakiej kolejności macierze są mnożone, ponieważ wiemy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne!

Rozdzielność

Rozdzielność w macierzach działa tak samo jak w liczbach rzeczywistych.
  • A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC
  • (B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA
Jeśli macierz AA została wymnożona z lewej strony, musimy upewnić się, że każdy iloczyn w sumie będzie miał AA po lewej stronie! Podobnie, jeśli macierz AA jest wymnożona z prawej strony, upewnij się, że każdy iloczyn w sumie ma AA po prawej stronie!

Element neutralny mnożenia

Macierz jednostkowa n×nn\times n , oznaczona jako InI_n, ma nn rzędów i nn kolumn. Elementy po przekątnej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu to same 11, a pozostałe elementy są równe 00.
Na przykład:
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right]\quad I_3=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 &0 \\ 0& 1&0\\0&0&1 \end{array}\right]\quad I_4=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 &0&0 \\ 0& 1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{array}\right]
Z własności elementu neutralnego mnożenia wynika, że iloczyn dowolnej macierzy n×nn\times n AA i InI_n to zawsze AA, niezależnie od kolejności, w której wykonujemy mnożenie. Innymi słowy AI=IA=AA\cdot I=I\cdot A=A.
Rola, jaką odgrywa macierz jednostkowa n×nn\times n w mnożeniu macierzy jest podobna do tej, jaką odgrywa liczba 11 w mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli aa jest liczbą rzeczywistą, to wiemy, że a1=aa\cdot 1=a i 1a=a1\cdot a=a.

Własność mnożenia przez zero

Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe 00. Na przykład macierz zerowa 3×33\times 3 wygląda następująco O3×3=[000000000] O_{3\times 3}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array}\right].
Macierz zerową oznaczamy zazwyczaj przez OO, w razie potrzeby możemy też dodać indeks dolny, wskazujący na wymiary macierzy.
Z własności mnożenia przez zero wynika, że iloczyn dowolnej macierzy n×nn\times n i macierzy zerowej n×nn\times n to macierz zerowa n×nn\times n. Innymi słowy AO=OA=OA\cdot O=O\cdot A=O.
Rola, jaką odgrywa macierz zerowa n×nn\times n w mnożeniu macierzy jest podobna do tej, jaką odgrywa liczba 00 w mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli aa jest liczbą rzeczywistą, to wiemy, że a0=0a\cdot 0=0 i 0a=00\cdot a=0.

Własności wymiarów macierzy

Jedyna własność, która jest własnością wyłącznie macierzy, to jej wymiary. Ta własność ma dwie części:
  1. Iloczyn dwóch macierzy będzie określony, jeśli liczba kolumn w pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.
  2. Jeśli iloczyn jest określony, wynikowa macierz będzie miała taką samą liczbę wierszy jak pierwsza macierz i taką samą liczbę kolumn jak druga macierz.
Na przykład jeśli AA to macierz 3×2\blueD3\times \maroonC2 a BB to macierz 2×4\maroonC2\times \goldD4, to własność wymiarów mówi nam, że:
  • Iloczyn ABAB jest określony.
  • ABAB będzie macierzą 3×4\blueD3\times \goldD4.

Sprawdź, czy rozumiesz

Kiedy już znasz wszystkie własności mnożenia macierzy przez macierz, sprawdźmy, czy możesz użyć ich do określenia równoważnych macierzy.
W poniższych zadaniach AA, BB i CC to macierze 2×22\times 2, a OO to macierz zerowa 2×22\times 2 .
Ładowanie