Przegląd równań trygonometrycznych (artykuł)

Ćwiczenie 1: rozwiązywanie prostych równań za pomocą funkcji cyklometrycznych

Przykład: rozwiązanie równania $\sin (x) = 0, 55$ ‍

Obliczenia wykonamy na kalkulatorze, zaokrąglając do setnych.

\sin^{- 1} (0, 55) = 0, 58

(Liczymy w radianach.)

Możemy wykorzystać tożsamość

\sin (π - θ) = \sin (θ)

aby wyznaczyć drugie rozwiązanie leżące w przedziale

[0, 2 π]

π - 0, 58 = 2, 56

Korzystając z tożsamości

\sin (θ + 2 π) = \sin (θ)

możemy wyznaczyć, na podstawie tych dwóch rozwiązań, wszystkie inne rozwiązania.

x = 0, 58 + n \cdot 2 π

x = 2, 56 + n \cdot 2 π

Gdzie,

n

jest dowolną liczbą całkowitą.

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 1.1

Zaznacz jedno lub więcej wyrażeń będących rozwiązaniami równania.
Odpowiedzi są podane w radianach. $n$ ‍ jest dowolną liczbą naturalną.

\cos (x) = 0, 15

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: zadania zaawansowane

Przykład: rozwiązanie równania $16 \cos (15 x) + 8 = 2$ ‍

Zacznijmy od wyodrębnienia funkcji trygonometrycznej:

\begin{aligned} 16 \cos (15 x) + 8 & = 2 \\ 16 \cos (15 x) & = - 6 \\ \cos (15 x) & = - 0,375 \end{aligned}

Obliczenia wykonamy na kalkulatorze, zaokrąglając do tysięcznych.

\cos^{- 1} (- 0,375) = 1,955

Możemy wykorzystać tożsamość

\cos (θ) = \cos (- θ)

aby wyznaczyć drugie rozwiązanie leżące w przedziale

[- π, π]

, czyli

- 1,955

Korzystając z okresowości

\cos (θ) = \cos (θ + 2 π)

możemy wyznaczyć wszystkie rozwiązania naszego równania na podstawie dwóch rozwiązań przedstawionych powyżej. Następnie rozwiążemy równanie na

x

(pamiętając, że argumentem funkcji jest

15 x

\begin{aligned} 15 x & = 1,955 + n \cdot 2 π \\ x & = \frac{1,955 + n \cdot 2 π}{15} \\ x & = 0,130 + n \cdot \frac{2 π}{15} \end{aligned}

W podobny sposób stwierdzamy, że drugie rozwiązanie ma postać

x = - 0,130 + n \cdot \frac{2 π}{15}

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 2.1

Zaznacz jedno lub więcej wyrażeń będących rozwiązaniami równania.
Odpowiedzi są podane w radianach. $n$ ‍ jest dowolną liczbą naturalną.

20 \sin (10 x) - 10 = 5

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: zadania z tekstem

Zadanie 3.1

L (t)

nodeluje długośc dnia (w minutach) w Manili na Filipinach,

t

dni after po równonocy wiosennej. Tutaj

t

wpisane jest w radianach.

L (t) = 52 \sin (\frac{2 π}{365} t) + 728

Jeki jest pierwszy dzień po równonocy wiosennej, którego długość wynosi $750$ ‍ minut?
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższego pełnego dnia.

dni

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 2

Przegląd równań trygonometrycznych

Ćwiczenie 1: rozwiązywanie prostych równań za pomocą funkcji cyklometrycznych

Przykład: rozwiązanie równania $\sin (x) = 0, 55$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Ćwiczenie 2: zadania zaawansowane

Przykład: rozwiązanie równania $16 \cos (15 x) + 8 = 2$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Ćwiczenie 3: zadania z tekstem

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Wstęp do analizy matematycznej

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 2

Ćwiczenie 1: rozwiązywanie prostych równań za pomocą funkcji cyklometrycznych

Przykład: rozwiązanie równania sin⁡(x)=0,55‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Ćwiczenie 2: zadania zaawansowane

Przykład: rozwiązanie równania 16cos⁡(15x)+8=2‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Ćwiczenie 3: zadania z tekstem

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład: rozwiązanie równania $\sin (x) = 0, 55$ ‍

Przykład: rozwiązanie równania $16 \cos (15 x) + 8 = 2$ ‍