Zajrzyj i zrozum wszystkie swoje ulubione tożsamości trygonometryczne.

Stosunki i odwrotności funkcji trygonometrycznych

sec(θ)=1cos(θ)\sec(\theta)= \dfrac{1}{\cos(\theta)}

csc(θ)=1sin(θ)\csc(\theta)= \dfrac{1}{\sin(\theta)}

cot(θ)=1tan(θ)\cot(\theta)= \dfrac{1}{\tan(\theta)}

tan(θ)=sin(θ)cos(θ)\tan(\theta)= \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}

cot(θ)=cos(θ)sin(θ)\cot(\theta)= \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}

Tożsamości pitagorejskie

sin2(θ)+cos2(θ)=12\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)=1^2
tan2(θ)+12=sec2(θ)\tan^2(\theta) + 1^2=\sec^2(\theta)
cot2(θ)+12=csc2(θ)\cot^2(\theta) + 1^2=\csc^2(\theta)

Wzory na funkcje trygonometryczne sumy, różnicy, wielokrotności i ułamków kątów

Są ze sobą ściśle powiązane, ale dla porządku zajmiemy się każdym rodzajem oddzielnie.
Wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów
sin(θ+ϕ)=sinθcosϕ+cosθsinϕ\sin(\theta+\phi)=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi
sin(θϕ)=sinθcosϕcosθsinϕ\sin(\theta-\phi)=\sin\theta\cos\phi-\cos\theta\sin\phi
cos(θ+ϕ)=cosθcosϕsinθsinϕ\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi
cos(θϕ)=cosθcosϕ+sinθsinϕ\cos(\theta-\phi)=\cos\theta\cos\phi+\sin\theta\sin\phi
tan(θ+ϕ)=tanθ+tanϕ1tanθtanϕ\tan(\theta+\phi)=\dfrac{\tan\theta+\tan\phi}{1-\tan\theta\tan\phi}
tan(θϕ)=tanθtanϕ1+tanθtanϕ\tan(\theta-\phi)=\dfrac{\tan\theta-\tan\phi}{1+\tan\theta\tan\phi}
Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta
sin(2θ)=2sinθcosθ\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta
cos(2θ)=2cos2θ1\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1
tan(2θ)=2tanθ1tan2θ\tan(2\theta)=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
Funkcje trygonometryczne połówki kąta
sinθ2=±1cosθ2\sin\dfrac\theta2=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}
cosθ2=±1+cosθ2\cos\dfrac\theta2=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}
tanθ2=±1cosθ1+cosθ=       1cosθsinθ=       sinθ1+cosθ\begin{aligned} \tan\dfrac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\\ \\ &=~~~~~~~\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\\ \\ &=~~~~~~~\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{aligned}

Relacje symetrii i związki wynikające z okresowości

sin(θ)=sin(θ)\sin(-\theta)=-\sin(\theta)
cos(θ)=+cos(θ)\cos(-\theta)=+\cos(\theta)
tan(θ)=tan(θ)\tan(-\theta)=-\tan(\theta)

sin(θ+2π)=sin(θ)\sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta)
cos(θ+2π)=cos(θ)\cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta)
tan(θ+π)=tan(θ)\tan(\theta+\pi)=\tan(\theta)

Kofunkcje

sinθ=cos(π2θ)\sin\theta= \cos(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cosθ=sin(π2θ)\cos\theta= \sin(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
tanθ=cot(π2θ)\tan\theta= \cot(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cotθ=tan(π2θ)cot\theta= \tan(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
secθ=csc(π2θ)\sec\theta= \csc(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cscθ=sec(π2θ)\csc\theta= \sec(\dfrac{\pi}{2}-\theta)

Dodatek: funkcje trygonometryczne w okręgu jednostkowym

Zmieniaj kąt przesuwając zielony punkt na okręgu i obserwuj jak zmieniają się długości odcinków, równe różnym funkcjom trygonometrycznym.
Ładowanie