Główna zawartość

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 3

Lekcja 5: Moduł i argument liczby zespolonej

Ppdsumowanie wiadomości na temat modułu i argumentu liczby zespolonej

Powtórz sobie, co wiesz o własnościach liczb zespolonych, przede wszystkim o module i argumencie liczby zespolonej. Poćwicz zapisywanie liczb zespolonych w postaci kanonicznej i w postaci trygonometrycznej.


Moduł (wartość bezwględna) $a + b i$ ‍
$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
Argument (kąt skierowany) $a + b i$ ‍
$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Postać trygonometryczna liczby zespolonej, gdzie $r$ ‍ - moduł i $θ$ ‍ - argument
$r \cos θ + r \sin θ i$ ‍

Co to są moduł i argument liczby zespolonej?

Jesteśmy przyzwyczajeni do zapisywania liczb zespolonych w postaci algebraicznej (kanonicznej), który podaje nam ich części

rzeczywiste

zespolone

. Na przykład,

3 + 4 i

Możemy narysować liczby na płaszczyźnie zespolonej, zgodnie z ich częściami:

Graficznie, istnieje jeszcze jeden sposób, aby jednoznacznie przedstawić liczbę zespoloną — podając jej

moduł

argument

Moduł

, lub

wartość bezwględna

liczby zespolonej, podaje nam jaka jest odległość liczby od środka płaszczyzny zespolonej, podczas gdy jej

argument

, lub

kąt skierowany

, to kąt jaki liczba tworzy z dodatnią częścią osi rzeczywistej.

Moduł (wartość bezwzględną) liczby zespolonej

z

zapisuje się tak samo, jak wartość bezwzględną dowolnej liczby rzeczywistej,

| z |

Chcesz dowiedzieć się więcej na temat modułu i argumentu liczb zespolonych? Obejrzyj ten film.

Zestaw ćwiczeń 1: Obliczanie modułu liczby zespolonej

Aby obliczyć moduł liczby zespolonej, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jej części (wynika to bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa):

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Na przykład, moduł z liczby

3 + 4 i

wynosi

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Zadanie 1.1

| 3 + 7 i | =

Podaj dokładną odpowiedź.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Zestaw ćwiczeń 2: Obliczanie argumentu liczby zespolonej

Aby obliczyć argument liczby zespolonej, musimy obliczyć odwrotność tangensa ze stosunków części tej liczby:

θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

Wynika to ze skorzystania z własności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, utworzonego między liczbą a osią rzeczywistą.

Przykład 1: $I$ ‍ ćwiartka

Obliczmy argument liczby

3 + 4 i

\tan^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Przykład 2: $II$ ‍ ćwiartka

Znajdźmy argument liczby

- 3 + 4 i

. Najpierw, zauważ że

- 3 + 4 i

znajduje się w

II

ćwiartce.

\tan^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

znajduje się w

IV

ćwiartce, a nie w

II

. Musimy dodać

180^{\circ}

, aby otrzymać przeciwny kąt:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Zadanie 2.1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

Zaokrąglij swój wynik, jeśli to jest potrzebne, do części dziesiętnych. Wyraź $θ$ ‍ jako pomiędzy $- 180^{\circ}$ ‍ i $180^{\circ}$ ‍.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Zestaw ćwiczeń 3: Otrzymywanie postaci algebraicznej znając moduł i argument liczby zespolonej

Aby obliczyć części rzeczywistą i zespoloną liczby urojonej znając jej moduł i argument, musimy pomnożyć jej moduł przez sinus albo cosinus jej argumentu.

Wynika to ze skorzystania z własności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, utworzonego między liczbą a osią rzeczywistą.

Na przykład, jeśli moduł liczby zespolonej wynosi

2

a jej argument

30^{\circ}

to to jest jej postać algebraiczna:

2 \cos (30^{\circ}) + 2 \sin (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

Zadanie 3.1

| z_{1} | = 3

θ_{1} = 20^{\circ}

z_{1} =

i

Zaokrąglij swoją odpowiedź do części tysięcznych.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych ćwiczeń? Rozwiąż to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Wstęp do analizy matematycznej