If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przypomnienie wiadomości o zapisie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej

Przypomnij sobie postać trygonometryczną liczby zespolonej i wykorzystaj ją do mnożenia, dzielenia oraz podnoszenia do potęgi liczb zespolonych.

Co to jest postać trygonometryczna liczby zespolonej?

r(cosθ+isinθ)
Postać trygonometryczna podkreśla własności geometryczne liczby zespolonej: wartość bezwzględną liczby zespolonej (czyli odległość od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej) oraz kąt (kąt jaki tworzy wektor, utożsamiony z tą liczbą, z dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej). Wartość bezwzględna i kąt nazywane są także odpowiednio modułem i argumentem liczby zespolonej.
Zauważ, że jeśli rozwiniemy wyrażenie w nawiasie, otrzymamy znowu postać kanoniczną liczby zespolonej.
Chcesz dowiedzieć się więcej o postaci trygonometrycznej liczby zespolonej? Obejrzyj ten film.
Chcesz dowiedzieć się więcej o różnych sposobach zapisu liczb zespolonych? Przeczytaj ten artykuł.
Chcesz dowiedzieć się więcej o konwersji z postaci kanonicznej do postaci trygonometrycznej? Przeczytaj ten artykuł.

Ćwiczenia - zestaw 1: mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna jest szczególnie przydatna, gdy mamy wykonać mnożenie lub dzielenie liczb zespolonych:
z1=r1(cosθ1+isinθ1)z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]
Chcesz wiedzieć więcej o mnożeniu i dzieleniu liczb zespolonych? Obejrzyj ten film.
Zadanie 1.1
w1=5[cos(15)+isin(15)]
w2=3[cos(45)+isin(45)]
w1w2=

Podaj odpowiedź w postaci trygonometrycznej. Kąt wyraź w stopniach.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenia - zestaw 2: potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

z1=r1(cosθ1+isinθ1)(z1)n=(r1)n[cos(nθ1)+isin(nθ1)]

Przykład 1

Obliczmy (1+3i)6. Zacznijmy od zapisania naszej liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej:
(1+3i)=2(cos60+isin60)
Możemy teraz skorzystać z powyższego wzoru:
=[2(cos60+isin60)]6=(2)6[cos(660)+isin(660)]=64(cos360+isin360)=64(1+i0)=64

Przykład 2

Znajdź rozwiązania równania z3=27. Zacznij od zdefiniowania r i θ, czyli modułu i argumentu z. Zgodnie z tą definicją, z3 równa się r3[cos(3θ)+isin(3θ)].
Liczbę 27 można zapisać jako 27[cos(k360)+isin(k360)].
Wyjściowe równanie z3=27 jest równoważne układowi dwóch równań:
r3=27
3θ=k360
Rozwiązaniem pierwszego równania jest r=3. Rozwiązaniami drugiego równania są kąty, spełniające równanie θ=k120, które ma trzy różne rozwiązania: 0, 120, and 240. Każde z nich odpowiada innemu rozwiązaniu naszego wyjściowego równania:
z1=3z2=32+332iz3=32332i
Zadanie 2.1
(2+2i)6=

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.