If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Graficzne przedstawienie mnożenia liczb zespolonych

Zobacz jak wygląda graficzne przedstawienie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej.

Jak działa mnożenie zespolone?

Wiesz już jak pomnożyć przez siebie dwie liczby zespolone, czy to w postaci kanonicznej, czy w postaci wykładniczej. Wiesz także, że w postaci wykładniczej mnożenie polega na pomnożeniu przez siebie modułów oraz dodaniu argumentów:
=r(cos(α)+isin(α))s(cos(β)+isin(β))=rs[cos(α+β)+isin(α+β)]\begin{aligned} &\phantom{=}r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)) \cdot s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\\\\ & =rs[\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)] \end{aligned}
Jedną z wielu zalet postaci wykładniczej jest łatwość, z jaką można przedstawić graficznie co się dzieje przy mnożeniu liczb zespolonych.
Co się stanie, jeśli mnożymy każdy punkt na płaszczyźnie zespolonej przez pewną liczbę zespoloną z? Jeśli z ma przedstawienie w postaci r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis, reguła opisana powyżej mówi nam, że każdy punkt na płaszczyźnie będzie przeskalowany ze współczynnikiem r, oraz obrócony o kąt theta.

Przykłady

Niech z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis. Mnożenie przez z oznacza przeskalowanie przez czynnik 2, oraz obrót o 30, degrees, tak jak tutaj:
Filmy wideo na Khan Academy
Jeśli z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction, to moduł z wynosi
square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction
natomiast argument równa się minus, 45, degrees, a zatem mnożenie przez z oznacza przeskalowanie z czynnikiem start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, comma, 471, czyli wszystko się skurczy, oraz obrót o kąt minus, 45, degrees wokół początku układu współrzędnych, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
Filmy wideo na Khan Academy
Mnożenie przez z, equals, minus, 2, której moduł wynosi 2, a argument równa się 180, degrees, obraca wszystko o połowę kąta pełnego wokół początku układu współrzędnych, jednocześnie rozciągając z czynnikiem 2.
Filmy wideo na Khan Academy
Inny sposób na wyobrażenie sobie tego. jak działa mnożenie zespolone, polega na tym aby zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej liczby 1 i z, a następnie zauważyć, że mnożenie przez z przenosi punkt 1 w miejsce punktu z, ponieważ z, dot, 1, equals, z. Oczywiście w taki sposób, aby początek układu współrzędnych pozostał w tym samym miejscu, skoro z, dot, 0, equals, 0.
Filmy wideo na Khan Academy
Filmy wideo na Khan Academy
Filmy wideo na Khan Academy
Ciekawe, jak bardzo te dwa proste fakty, z, dot, 1, equals, z i z, dot, 0, equals, 0, ułatwiają wyobrażenie sobie jak działa mnożenie zespolone!

Geometryczna interpretacja sprzężenia zespolonego

Przyjrzyjmy się teraz co się stanie, jeśli pomnożymy płaszczyznę zespoloną przez pewną liczbę zespoloną z, a następnie wynik pomnożymy przez liczbę do niej sprzężoną, z, with, \bar, on top:
Filmy wideo na Khan Academy
Filmy wideo na Khan Academy
Jeśli argumentem liczby z jest kąt theta, to argumentem liczby sprzężonej z, with, \bar, on top jest minus, theta, tak więc po wykonaniu kolejnych mnożeń obroty wzajemnie się kasują. Możemy to zaobserwować na przykładzie punktu 1, który w końcu pozostaje po dodatniej stronie osi rzeczywistej.
A co z modułem? Obie liczby mają ten sam moduł, vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, więc całkowitym wynikiem mnożenia przez z a potem przez z, with, \bar, on top jest rozciągnięcie wszystkiego vertical bar, z, vertical bar, dot, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squared razy.
To samo możemy zobaczyć po prostu wypisując równania, ponieważ left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared, ale czasem warto zobaczyć jak to działa!

Co się dzieje, jak dzielimy przez liczbę zespoloną?

Co się stanie, jeżeli podzielimy całą płaszczyznę zespoloną przez z? Jeżeli argument z wynosi theta a moduł r, to dzielenie zadziała odwrotnie do mnożenia: obróci wszystko o minus, theta i przeskaluje z czynnikiem skali start fraction, 1, divided by, r, end fraction (czyli płaszczyzna zespolona skurczy się z czynnikiem skali równym r).

Przyklad 1: dzielenie przez square root of, 3, end square root, plus, i

Argument liczby square root of, 3, end square root, plus, i wynosi 30, degrees, a jej moduł równa się 2, a zatem płaszczyzna zespolona obraca się o minus, 30, degrees, to znaczy o 30, start superscript, o, end superscript w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, przeskaluje o czynnik start fraction, 1, divided by, 2, end fraction (to znaczy skurczy się o czynnik 2).
Filmy wideo na Khan Academy

Przyklad 2: dzielenie przez start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction

Argument start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction wynosi minus, 45, degrees, a moduł równa się
square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction
A zatem wszystko obraca się o kąt plus, 45, degrees i skaluje z czynnikiem skali równym start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, comma, 121.
Filmy wideo na Khan Academy
Zauważ, że kropka oznaczająca z przeniosła się nad 1.

Graficzne wyobrażenie dzielenia i wzór na iloraz dwóch liczb zespolonych

Aby obliczyć start fraction, z, divided by, w, end fraction, gdzie z, equals, a, plus, b, i a w, equals, c, plus, d, i, mnożymy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do w, start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i.
start fraction, z, divided by, w, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, dot, start fraction, c, minus, d, i, divided by, c, minus, d, i, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, c, minus, d, i, right parenthesis, divided by, c, squared, plus, d, squared, end fraction, equals, start fraction, z, dot, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction
Innymi słowy, dzielenie przez w to to samo, co mnożenie przez start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction. Możemy to zobaczyć?
Załóżmy, że argument w równa się theta, a moduł wynosi r. A zatem, dzieląc przez w, musimy wykonać obrót o kąt minus, theta połączony ze skalowaniem z czynnikiem skali równym start fraction, 1, divided by, r, end fraction. Ponieważ liczba sprzężona start overline, w, end overline ma argument przeciwny do argumentu w, mnożenie przez start overline, w, end overline oznacza obrót o kąt minus, theta, dokładnie tak, jak chcemy. Z drugiej strony, mnożenie przez start overline, w, end overline oznacza skalowanie z czynnikiem r, a więc dzielimy jeszcze przez r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared aby to poprawić. Zauważ, że vertical bar, w, vertical bar, squared jest dodatnią liczbą rzeczywistą, której argument wynosi zero.
Na przykład, dzielenie przez 1, plus, 2, i wygląda w ten sposób:
Filmy wideo na Khan Academy
A tak będzie, jeśli najpierw pomnożymy przez liczbę sprzężoną, 1, minus, 2, i, a następnie podzielimy przez kwadrat modułu vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5.
Filmy wideo na Khan Academy
Oba sposoby dają ten sam wynik, jak być musi.