Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Składanie funkcji

Omówienie przykładów, wyjaśnień i zadań ze znajdowania i obliczania wartości funkcji złożonych.
Dwie funkcje można połączyć w taki sposób, że wynik jednej funkcji jest argumentem drugiej funkcji. To działanie definiuje nam funkcję złożoną. Rzućmy okiem na to, co to oznacza!

Obliczenia wartości funkcji dla funkcji złożonych

Przykład

Jeśli f(x)=3x1 i g(x)=x3+2, to ile wynosi f(g(3))?

Rozwiązanie

Jeden ze sposobów obliczenia wartości f(g(3)) jest podejście "od wewnątrz - na zewnątrz". Innymi słowy, na początku obliczmy g(3) first i później podstawmy ten wynik do f, aby uzyskać odpowiedź.
Znajdźmy wartość g(3).
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Podstaw x=3.=29
Ponieważ g(3)=29, to f(g(3))=f(29).
Teraz znajdźmy wartość f(29).
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               Podstaw x=29.=86
Stąd f(g(3))=f(29)=86.

Znalezienie funkcji złożonej.

W przykładzie powyżej, funkcja g przekształciła 3 w 29, po czym funkcja f przekształciła 29 w 86. Znajdźmy funkjcę, która bezpośrednio przeprowadza 3 w 86.
Aby to zrobić, musimy złożyć te dwie funkcje i znaleźć f(g(x)).

Przykład

Co to jest f(g(x))?
Przypomnij sobie, że f(x)=3x1 i g(x)=x3+2.

Rozwiązanie

Jeśli spojrzymy na wyrażenie f(g(x)), zobaczymy, że g(x) jest argumentem funkcji f. Więc podstawmy g(x) wszędzie gdzie widzimy x w funkcji f.
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1
Skoro g(x)=x3+2, możemy podstawić x3+2 za g(x).
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5
Ta nowa funkcja powinna przeprowadzić 3 bezpośrednio w 86. Sprawdźmy to.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86
Doskonale!

Ćwiczenia

Zadanie 1

f(x)=3x1
g(x)=x3+2
Oblicz g(f(1)).
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 2

m(x)=3x2
n(x)=x+4
Znajdź m(n(x)).

Funkcje złożone: formalna definicja

W przykładzie powyżej, znaleźliśmy funkcję złożoną i obliczyliśmy jej wartość.
Ogólnie, aby pokazać, że funkcja f jest złożona z funkcją g, możemy napisać fg, które czyta się jako "f złożone z g". To złożenie jest zdefiniowane za pomocą następującej reguły:
(fg)(x)=f(g(x))
Diagram poniżej pokazuje związek pomiędzy (fg)(x) i f(g(x)).
Teraz spójrzmy na inny przykład, mając pod uwagą tę nową definicję.

Przykład

g(x)=x+4
h(x)=x22x
Znajdź (hg)(x) i (hg)(2).

Rozwiązanie

Możemy znaleźć (hg)(x) w następujący sposób:
(hg)(x)=h(g(x))Zdefiniuj.=(g(x))22(g(x))Wstaw g(x) za x w funkcji h.=(x+4)22(x+4)Podstaw x+4 za g(x).=x2+8x+162x8Wymnóż.=x2+6x+8Uporządkuj wyrazy podobne.
Ponieważ teraz mamy funkcję hg, możemy podstawić 2 pod x aby znaleźć (hg)(2).
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0
Oczywiście, mogliśmy znaleźć (hg)(2) przez obliczenie wartości h(g(2)). Pokazano to poniżej:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        Ponieważ g(2)=2+4=2=0             Ponieważ h(2)=222(2)=0
Diagram poniżej pokazuje jak (hg)(2) jest związane z h(g(2)).
Tutaj widzimy, że funkcja g przeprowadza 2 w 2 i później funkcja h przeprowadza 2 w 0, podczas gdy funkcja hg przeprowadza 2 bezpośrednio w 0.

Rozwiążmy kilka zadań treningowych

Zadanie 3

f(x)=3x5
g(x)=32x
Oblicz (gf)(3).
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

W zadaniach 4 i 5, niech f(t)=t2 i g(t)=t2+5.

Zadanie 4

Znajdź (gf)(t).

Zadanie 5

Znajdź (fg)(t).

Wyzwanie

Wykresy równań y=f(x) oraz y=g(x) są przedstawione poniżej.
Które z poniższych najlepiej przybliża wartość (fg)(8)?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.