If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do analizy matematycznej

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 1

Lekcja 1: Składanie funkcji
Matematyka
Wstęp do analizy matematycznej
Funkcje złożone i funkcje odwrotne
Składanie funkcji
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wstęp do składania funkcji

Google Classroom
Naucz się w jaki sposób składa się funkcje przyglądając się przykładowy farmy.

Jerzy jest rolnikiem. Każdego roku sieje ziarna, z których wyrasta kukurydza. Poniższa funkcja mówi, ile kilogramów (kg) kukurydzy C spodziewa się zebrać Jerzy, jeżeli zasieje kukurydzę na a arach ziemi.
C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500
Na przykład, jeżeli Jerzy zasieje dwa ary ziemi, spodziewa się zebrać C, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 7500, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1500, equals, 13500 start text, k, g, end text kukurydzy.
Jednak Jerzy tak naprawdę chce wiedzieć, ile pieniędzy zarobi ze sprzedaży zebranej kukurydzy. Używa poniższej funkcji, aby przewidzieć, jak dużo pieniędzy M (w złotych) zarobi ze sprzedaży c kilogramów kukurydzy.
M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, c, minus, 50
Czyli jeżeli Jerzy wyprodukuje 13, space, 500, start text, space, k, g, end text kukurydzy, może spodziewać się zarobku w wysokości M, left parenthesis, 13, space, 500, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, left parenthesis, 13, space, 500, right parenthesis, minus, 50, equals, 12, space, 100 zł.
Zauważ, że Jerzy używa dwóch różnych funkcji na przejście od arów zasianej ziemi do zarobków. Pierwsza funkcja, C, prowadzi od arów do kukurydzy, z kolei druga, M, prowadzi od kukurydzy do pieniędzy.
Nie byłoby łatwiej, gdyby Jerzy mógł zapisać funkcję, która przeprowadzałaby bezpośrednio ary zasianej ziemi na spodziewane zarobki?

Tworzenie nowej funkcji

Istotnie, możemy znaleźć funkcję, która bezpośrednio przeprowadza ary zasianej ziemi na spodziewane zarobki! Aby ją określić, zastanówmy się nad najogólniejszym pytaniem: ile pieniędzy może spodziewać się Jerzy, jeżeli zasieje a arów ziemi kukurydzą?
Jeżeli Jerzy zasieje a arów ziemi, spodziewać się będzie C, left parenthesis, a, right parenthesis kilogramów kukurydzy. Jeżeli zbierze C, left parenthesis, a, right parenthesis, to spodziewał się będzie M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis złotych zarobku.
A więc aby znaleźć ogólną regułę, która przeprowadza a arów bezpośrednio na spodziewane zarobki, możemy znaleźć wyrażenie na M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.
Ale jak to zrobić? Hmm, zauważ, że w wyrażeniu M, left parenthesis, start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis daną wejściową funkcji M jest start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54. Żeby znaleźć szukane wyrażenie., możemy podstawić start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54 za start color #e07d10, c, end color #e07d10 w funkcji M.
M(c)=0,9c−50M(C(a))=0,9(C(a))−50=0,9(7500a−1500)−50          Gdyz˙ C(a)=7500a−1500=6750a−1350−50=6750a−1400\begin{aligned} M(\goldD c)&=0,9\goldD c-50\\\\ M({\greenD{C(a)}})&=0,9(\greenD{C(a)})-50\\ \\ &= 0,9(\greenD{7500a-1500})-50~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Gdyż }}}\small{\gray{C(a)=7500a-1500} }\\\\ &= 6750a-1350-50\\\\ &=6750a-1400 \end{aligned}
Wiemy więc, że funkcja M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400 przeprowadza ary zasianej ziemi bezpośrednio na spodziewane zarobki. Użyjmy tego nowego wyrażenia do przewidzenia, jak dużo pieniędzy Jerzy zarobiłby z zasiania dwóch arów ziemi kukurydzą.
M, left parenthesis, C, left parenthesis, 2, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1400, equals, 12000 zł
Jerzy może spodziewać się zarobku 12000 zł z zasiania dwoćh arów ziemi. Zgadza się to z poprzednimi wyliczeniami!

Definicja złożenia funkcji

To, co właśnie znaleźliśmy, nazywa się złożeniem funkcji. Zamiast podstawiać ary zasianej ziemi do funkcji zwracającej kilogramy kukurydzy, a następnie podstawić kilogramy kukurydzy do funkcji zwracającej zarobki, znaleźliśmy funkcję, która po wstawieniu arów zasianej ziemi bezpośrednio zwraca spodziewane zarobki.
Zrobiliśmy to podstawiają C, left parenthesis, a, right parenthesis do funkcji M, czyli przez znalezienie M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Nazwijmy tę nową funkcję M, circle, C, co czyta się "M złożone z C".
Wiemy teraz, że left parenthesis, M, circle, C, right parenthesis, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. To jest właśnie formalna definicja złożenia funkcji!

Wizualizacja dwóch metod

Poniżej znajduje się grafika pomagająca zrozumieć powyższą definicję.
Używając obu funkcji C i M, funkcja C—zwracająca kukurydzę—przenosi dwa na 13500. Następnie funkcja M—zwracająca zarobki—przenosi 135000 na 12100 zł.
Używając złożenia funkcji, widzimy, że funkcja M, circle, C przenosi dwa bezpośrednio na 12000 zł.
Dwie powyższe metody są równoważne!

Rozwiążmy kilka zadań treningowych.

Zadanie 1

Używając funkcji z przykładu, jak dużych zarobków Jerzy może się spodziewać ze sprzedaży kukurydzy zasianej na 1,5 ara ziemi?
Dla ułatwienia: C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500, M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, c, minus, 50 oraz M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
złotych

Zadanie 2

Kuba zajmuje się uprawą ziemniaków. Funkcja Z, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 25000, a, minus, 1000 zwraca Z kilogramów ziemniaków, jakie spodziewa się zebrać z zasadzenia ziemniakami a arów ziemi. Funkcja M, left parenthesis, z, right parenthesis, equals, 0, comma, 2, z, minus, 200 zwraca M złotych zarobku, jaki Kuba spodziewa się dostać ze zbioru z kilogramów ziemniaków.
Jakiego zarobku może spodziewać się Kuba ze sprzedaży ziemniaków zebranych z 3 arów ziemi?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 3

Które z poniższych wyrażeń określa ilość pieniędzy, jakie Kuba spodziewa się zarobić, jeżeli zasadzi ziemniaki na 3 arach ziemi?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.