If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do składania funkcji

Naucz się w jaki sposób składa się funkcje przyglądając się przykładowy farmy.

Jerzy jest rolnikiem. Każdego roku sieje ziarna, z których wyrasta kukurydza. Poniższa funkcja mówi, ile kilogramów (kg) kukurydzy C spodziewa się zebrać Jerzy, jeżeli zasieje kukurydzę na a arach ziemi.
C(a)=7500a1500
Na przykład, jeżeli Jerzy zasieje dwa ary ziemi, spodziewa się zebrać C(2)=7500(2)1500=13500 kg kukurydzy.
Jednak Jerzy tak naprawdę chce wiedzieć, ile pieniędzy zarobi ze sprzedaży zebranej kukurydzy. Używa poniższej funkcji, aby przewidzieć, jak dużo pieniędzy M (w złotych) zarobi ze sprzedaży c kilogramów kukurydzy.
M(c)=0,9c50
Czyli jeżeli Jerzy wyprodukuje 13 500 kg kukurydzy, może spodziewać się zarobku w wysokości M(13 500)=0,9(13 500)50=12 100 zł.
Zauważ, że Jerzy używa dwóch różnych funkcji na przejście od arów zasianej ziemi do zarobków. Pierwsza funkcja, C, prowadzi od arów do kukurydzy, z kolei druga, M, prowadzi od kukurydzy do pieniędzy.
Nie byłoby łatwiej, gdyby Jerzy mógł zapisać funkcję, która przeprowadzałaby bezpośrednio ary zasianej ziemi na spodziewane zarobki?

Tworzenie nowej funkcji

Istotnie, możemy znaleźć funkcję, która bezpośrednio przeprowadza ary zasianej ziemi na spodziewane zarobki! Aby ją określić, zastanówmy się nad najogólniejszym pytaniem: ile pieniędzy może spodziewać się Jerzy, jeżeli zasieje a arów ziemi kukurydzą?
Jeżeli Jerzy zasieje a arów ziemi, spodziewać się będzie C(a) kilogramów kukurydzy. Jeżeli zbierze C(a), to spodziewał się będzie M(C(a)) złotych zarobku.
A więc aby znaleźć ogólną regułę, która przeprowadza a arów bezpośrednio na spodziewane zarobki, możemy znaleźć wyrażenie na M(C(a)).
Ale jak to zrobić? Hmm, zauważ, że w wyrażeniu M(C(a)) daną wejściową funkcji M jest C(a). Żeby znaleźć szukane wyrażenie., możemy podstawić C(a) za c w funkcji M.
M(c)=0,9c50M(C(a))=0,9(C(a))50=0,9(7500a1500)50          Gdyż C(a)=7500a1500=6750a135050=6750a1400
Wiemy więc, że funkcja M(C(a))=6750a1400 przeprowadza ary zasianej ziemi bezpośrednio na spodziewane zarobki. Użyjmy tego nowego wyrażenia do przewidzenia, jak dużo pieniędzy Jerzy zarobiłby z zasiania dwóch arów ziemi kukurydzą.
M(C(2))=6750(2)1400=12000
Jerzy może spodziewać się zarobku 12000 zł z zasiania dwoćh arów ziemi. Zgadza się to z poprzednimi wyliczeniami!

Definicja złożenia funkcji

To, co właśnie znaleźliśmy, nazywa się złożeniem funkcji. Zamiast podstawiać ary zasianej ziemi do funkcji zwracającej kilogramy kukurydzy, a następnie podstawić kilogramy kukurydzy do funkcji zwracającej zarobki, znaleźliśmy funkcję, która po wstawieniu arów zasianej ziemi bezpośrednio zwraca spodziewane zarobki.
Zrobiliśmy to podstawiają C(a) do funkcji M, czyli przez znalezienie M(C(a)). Nazwijmy tę nową funkcję MC, co czyta się "M złożone z C".
Wiemy teraz, że (MC)(a)=M(C(a)). To jest właśnie formalna definicja złożenia funkcji!

Wizualizacja dwóch metod

Poniżej znajduje się grafika pomagająca zrozumieć powyższą definicję.
Używając obu funkcji C i M, funkcja C—zwracająca kukurydzę—przenosi dwa na 13500. Następnie funkcja M—zwracająca zarobki—przenosi 135000 na 12100 zł.
Używając złożenia funkcji, widzimy, że funkcja MC przenosi dwa bezpośrednio na 12000 zł.
Dwie powyższe metody są równoważne!

Rozwiążmy kilka zadań treningowych.

Zadanie 1

Używając funkcji z przykładu, jak dużych zarobków Jerzy może się spodziewać ze sprzedaży kukurydzy zasianej na 1,5 ara ziemi?
Dla ułatwienia: C(a)=7500a1500, M(c)=0,9c50 oraz M(C(a))=6750a1400
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
złotych

Zadanie 2

Kuba zajmuje się uprawą ziemniaków. Funkcja Z(a)=25000a1000 zwraca Z kilogramów ziemniaków, jakie spodziewa się zebrać z zasadzenia ziemniakami a arów ziemi. Funkcja M(z)=0,2z200 zwraca M złotych zarobku, jaki Kuba spodziewa się dostać ze zbioru z kilogramów ziemniaków.
Jakiego zarobku może spodziewać się Kuba ze sprzedaży ziemniaków zebranych z 3 arów ziemi?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 3

Które z poniższych wyrażeń określa ilość pieniędzy, jakie Kuba spodziewa się zarobić, jeżeli zasadzi ziemniaki na 3 arach ziemi?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.