Główna zawartość

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 1

Lekcja 3: Funkcje, dla których istnieje funkcja odwrotna

Wstęp do funkcji odwracalnych

Nie wszystkie funkcje są odwracalne. Te, które są, są nazywane "odwracalnymi." Dowiedz się w jaki sposób możemy odróżnić funkcje odwracalne od nieodwracalnych.

Funkcje odwrotne, to najogólniej mówiąc funkcje, które się nawzajem redukują. Przykładowo: jeśli

f

zamienia

a

b

, to odwrotna funkcja,

f^{- 1}

, będzie zamieniała

b

a

Czy każda funkcja ma funkcję do siebie odwrotną?

Niech

h

będzie funkcją określoną poniższą tabelką.

$x$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$h (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍

Możemy utworzyć graf dla funkcji

h

Teraz odwróćmy przyporządkowanie, by znaleźć

h^{- 1}

Zobacz, że

h^{- 1}

przyporządkowuje

2

do dwóch różnych wartości:

1

3

. To znaczy, że

h^{- 1}

nie jest funkcją.

Ponieważ odwrotność

h

nie jest funkcją, mówimy, że

h

nie jest odwracalna.

W ogólności, funkcja jest odwracalna wtedy, i tylko wtedy, gdy dla każdego argumentu istnieje odpowiadająca mu jedna wartość. Oznacza to, że każdej z wartości odpowiada dokładnie jeden argument. W ten sposób, gdy odwrócimy odwzorowanie, to wynik będzie nadal funkcją!

Poniżej znajduje się przykład funkcji odwracalnej

g

. Zauważ, że odwrotność jest rzeczywiście funkcją.

Sprawdź, czy rozumiesz

f

jest funkcją skończoną, określoną poniższą tabelą.

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍	$6$ ‍

Czy $f$ ‍ jest funkcją odwracalną?

g

jest funkcją skończoną, określoną poniższą tabelą.

$x$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍	$8$ ‍	$10$ ‍	$19$ ‍
$g (x)$ ‍	$- 2$ ‍	$- 3$ ‍	$- 2$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

Czy $g$ ‍ jest funkcją odwracalną?

Wyzwanie

3*) Czy $f (x) = x^{2}$ ‍ jest funkcją odwracalną?

Możemy stworzyć częściową tabelę wartości dla funkcji

f (x) = x^{2}

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍

Z tabeli widzimy, że

f (- 2) = 4

f (2) = 4

. Oznacza to, że pewnym argumentom odpowiada ta sama wartość, a więc funkcja

f

nie jest odwracalna.

(Uwaga: mógłbyś użyć podobnego argumentu dla innych wartości!)

Funkcje odwracalne i ich wykresy

Rozważmy wykres funkcji

y = x^{2}

Wiemy, że funkcja jest odwracalna, jeżeli każdemu argumentowi odpowiada inna wartość. Innymi słowy, każdej z wartości odpowiada dokładnie jeden argument.

Nie dzieje się tak w przypadku

y = x^{2}

Weźmy dla przykładu wartość

4

. Zauważ, że przy narysowaniu linii

y = 4

znajdujemy dwa argumenty:

2

- 2

, odpowiadające wartości

4

W dodatku, jeżeli będziemy przesuwać poziomą linię do dołu lub do góry, zauważymy, że większości wartości odpowiadają dwa argumenty! Funkcja

y = x^{2}

jest więc nieodwracalna.

Jako kontrprzykład rozważmy funkcję

y = x^{3}

Narysujmy linię poziomą i przesuwajmy ją w górę i w dół wykresu. Zawsze będzie ona przecinać wykres w tylko jednym punkcie!

Jest to równoznaczne stwierdzeniu, że każdej wartości odpowiada dokładnie jeden argument. Funkcja

y = x^{3}

jest więc odwracalna.

Powyższe rozumowanie można by nazwać testem linii poziomej: w ogólności, funkcja

f

jest odwracalna, jeżeli przechodzi test linii poziomej.

Przypominamy, że funkcja i jej odwrotność są odbiciami siebie względem linii

y = x

Sprawdźmy, co się dzieje, jeżeli odbijemy

y = x^{2}

względem linii

y = x

Dostajemy w wyniku relację, która nie jest funkcją, ponieważ odwrotność nie przechodzi testu linii pionowej!

W ogólności, jeżeli linia pozioma przecina wykres funkcje w więcej niż jednym miejscu, to linia pionowa będzie przecinać odbicie tego wykresu względem linii

y = x

również w więcej niż jednym miejscu. Odwrotność nie będzie więc funkcją.

Z drugiej strony, odbicie

y = x^{3}

przechodzi test linii pionowej, więc

y = x^{3}

jest odwracalna.

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Czy $g$ ‍ jest odwracalna?

Aby stwierdzić, czy funkcja jest odwracalna, musimy sprawdzić, czy różnym argumentom odpowiadają różne wartości. Aby tego dokonać, wyobraźmy sobie linię poziomą przechodzącą przez wykres funkcji.

Dokładniej, wyobraźmy sobie linię poziomą opisaną wzorem

y = 2

Zauważ, że linia

y = 2

przecina wykres

y = g (x)

w trzech miejscach. Oznacza to, że istnieją trzy argumenty, dla których wartością jest

2

. Nie jest więc prawdą, że różnym argumentom odpowiadają różne wartości, a więc funkcja nie jest odwracalna.

Moglibyśmy również powiedzieć, że funkcja

y = g (x)

nie przechodzi testu linii poziomej, czyli nie jest odwracalna.

5) Czy $h$ ‍ jest odwracalna?

Biorąc linię poziomą i przesuwając ją w dół i w górę wykresu zobaczymy, że przecina ona wykres funkcji zawsze w tylko jednym miejscu! Oznacza to, że różnym argumentom odpowiadają różne wartości, a więc funkcja jest odwracalna.

Moglibyśmy powiedzieć, że funkcja przechodzi test linii poziomej, a więc jest odwracalna.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.