If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do funkcji odwracalnych

Nie wszystkie funkcje są odwracalne. Te, które są, są nazywane "odwracalnymi." Dowiedz się w jaki sposób możemy odróżnić funkcje odwracalne od nieodwracalnych.
Funkcje odwrotne, to najogólniej mówiąc funkcje, które się nawzajem redukują. Przykładowo: jeśli f zamienia a na b, to odwrotna funkcja, f1, będzie zamieniała b na a.

Czy każda funkcja ma funkcję do siebie odwrotną?

Niech h będzie funkcją określoną poniższą tabelką.
x1234
h(x)2125
Możemy utworzyć graf dla funkcji h.
Teraz odwróćmy przyporządkowanie, by znaleźć h1.
Zobacz, że h1 przyporządkowuje 2 do dwóch różnych wartości: 1 i 3. To znaczy, że h1 nie jest funkcją.
Ponieważ odwrotność h nie jest funkcją, mówimy, że h nie jest odwracalna.
W ogólności, funkcja jest odwracalna wtedy, i tylko wtedy, gdy dla każdego argumentu istnieje odpowiadająca mu jedna wartość. Oznacza to, że każdej z wartości odpowiada dokładnie jeden argument. W ten sposób, gdy odwrócimy odwzorowanie, to wynik będzie nadal funkcją!
Poniżej znajduje się przykład funkcji odwracalnej g. Zauważ, że odwrotność jest rzeczywiście funkcją.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) f jest funkcją skończoną, określoną poniższą tabelą.
x21   0   1   2
f(x)21356
Czy f jest funkcją odwracalną?
Wybierz 1 odpowiedź:

2) g jest funkcją skończoną, określoną poniższą tabelą.
x2581019
g(x)23216
Czy g jest funkcją odwracalną?
Wybierz 1 odpowiedź:

Wyzwanie

3*) Czy f(x)=x2 jest funkcją odwracalną?
Wybierz 1 odpowiedź:

Funkcje odwracalne i ich wykresy

Rozważmy wykres funkcji y=x2.
Wiemy, że funkcja jest odwracalna, jeżeli każdemu argumentowi odpowiada inna wartość. Innymi słowy, każdej z wartości odpowiada dokładnie jeden argument.
Nie dzieje się tak w przypadku y=x2.
Weźmy dla przykładu wartość 4. Zauważ, że przy narysowaniu linii y=4 znajdujemy dwa argumenty: 2 i 2, odpowiadające wartości 4.
W dodatku, jeżeli będziemy przesuwać poziomą linię do dołu lub do góry, zauważymy, że większości wartości odpowiadają dwa argumenty! Funkcja y=x2 jest więc nieodwracalna.
Jako kontrprzykład rozważmy funkcję y=x3.
Narysujmy linię poziomą i przesuwajmy ją w górę i w dół wykresu. Zawsze będzie ona przecinać wykres w tylko jednym punkcie!
Jest to równoznaczne stwierdzeniu, że każdej wartości odpowiada dokładnie jeden argument. Funkcja y=x3 jest więc odwracalna.
Powyższe rozumowanie można by nazwać testem linii poziomej: w ogólności, funkcja f jest odwracalna, jeżeli przechodzi test linii poziomej.

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Czy g jest odwracalna?
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Czy h jest odwracalna?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.