If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Sprawdzanie, czy funkcje są odwrotnościami poprzez złożenie

Naucz się w jaki sposób weryfikować czy dwie funkcje są odwrotnościami przez złożenie ich. Na przykład, czy f(x)=5x-7 i g(x)=x/5+7 są funkcjami odwrotnymi?
Ten artykuł zawiera bardzo dużo składania funkcji. Jeżeli potrzebujesz sobie odświeżyć ten temat, polecamy Ci zajrzeć tutaj, zanim przeczytasz ten artykuł.
Funkcje odwrotne, to najogólniej mówiąc funkcje, które się nawzajem redukują. Przykładowo: jeśli f zamienia a na b, to odwrotna funkcja, f1, będzie zamieniała b na a.
Weźmy dla przykładu funkcje f i g: f(x)=x+13 oraz g(x)=3x1.
Zauważ, że f(5)=2 oraz g(2)=5.
Widzimy, że jeżeli zadziałamy funkcją f, a potem funkcją g, otrzymamy znów oryginalny argument. Zapisując to jako złożenie funkcji, mamy g(f(5))=5.
Aby funkcje były do siebie odwrotne, musimy pokazać, że zachodzi to dla wszystkich możliwych argumentów, niezależnie od kolejności działania f i g. Opisuje to reguła składania odwrotności.

Reguła składania funkcji z funkcją odwrotną

Poniżej wypisujemy warunki na to, aby funkcje f i g były do siebie odwrotne:
  • f(g(x))=x dla wszystkich x z dziedziny g
  • g(f(x))=x dla wszystkich x z dziedziny f
Warunki te biorą się stąd, że jeżeli f i g są do siebie odwrotne, to złożenie f z g (w dowolnej kolejności) tworzy funkcję, której wartością dla dowolnego argumentu jest ten argument. Nazywamy tę funkcję "funkcją jednościową".

Przykład 1: Funkcje f i g są odwrotne do siebie

Użyjmy reguły składania odwrotności do sprawdzenia, czy powyższe funkcje f i g są do siebie odwrotne.
Przypominamy, że f(x)=x+13 oraz g(x)=3x1.
Znajdźmy f(g(x)) i g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x
Widzimy, że funkcje f i g są do siebie odwrotne, gdyż f(g(x))=x i g(f(x))=x.

Przykład 2: Funkcje f i g nie są do siebie odwrotne

Jeżeli f(g(x)) lub g(f(x)) nie są równe x, to f i g nie mogą być do siebie odwrotne.
Sprawdźmy to dla f(x)=5x7 i g(x)=x5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285
Funkcje f i g nie są więc do siebie odwrotne, gdyż f(g(x))x oraz g(f(x))x.
(Zauważ, że mogliśmy wywnioskować, że f i g nie są wzajmenie odwrotne po sprawdzeniu, że f(g(x))=x+28).

Sprawdź, czy rozumiesz

W ogólności, aby sprawdzić, czy f i g są funkcjami wzajemnie odwrotnymi, możemy je złożyć. Jeżeli wynikiem jest x, funkcje są wzajemnie odwrotne. W innym wypadku, nie są.

1) f(x)=2x+7 oraz h(x)=x72

Wyraź f(h(x)) i h(f(x)) przez x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Czy funkcje f i g są wzajemnie odwrotne?
Wybierz 1 odpowiedź:

2) f(x)=4x+10 oraz g(x)=14x10

Wyraź f(g(x)) i g(f(x)) przez x.
f(g(x))=
g(f(x))=
Czy funkcje f i g są wzajemnie odwrotne?
Wybierz 1 odpowiedź:

3) f(x)=23x8 oraz h(x)=32(x+8)

Wyraź f(h(x)) i h(f(x)) przez x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Czy funkcje f i g są wzajemnie odwrotne?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.