Główna zawartość

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 7

Lekcja 10: Mnożenie dwóch macierzy

Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy przez skalar (to znaczy przez liczbę) polega po prostu na pomnożeniu wszystkich wyrazów macierzy przez tą liczbę. Można też zdefiniować mnożenie macierzy przez macierz, choć w tym przypadku jest bardziej skomplikowana operacja. To wszystko sprawia, że działania na macierzach są fascynująco ciekawe, a my chcemy opowiedzieć Ci w tym artykule, na czym polegają..

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Liczby te nazywamy elementami macierzy lub wyrazami macierzy.

Na przykład macierz

A

2

wiersze i

3

kolumny. Element

a_{2, 1}

to wpis w

2 wierszu

1 kolumnie

macierzy

A

, czyli

5

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego artykułu wprowadzenie do macierzy. Musisz również wiedzieć jak pomnożyć macierz przez skalar.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Jak wyznaczyć iloczyn dwóch macierzy. Na przykład, oblicz

[\begin{array}{rr} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 3 & 3 \\ 5 & 2 \end{array}]

Mnożenie macierzy przez skalar i mnożenie macierzy przez macierz

W świecie macierzy, na liczby rzeczywiste mówimy skalary.

\begin{aligned} 2 \cdot [\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{cc} 2 \cdot 5 & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{cc} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array}] \end{aligned}

Termin mnożenie macierzy przez skalar oznacza iloczyn liczby rzeczywistej przez macierz. W mnożeniu macierzy przez skalar, każdy element macierzy zostaje pomnożony przez daną liczbę, czyli skalar.

Inaczej jest z mnożeniem macierzy przez macierz, które odnosi się do iloczynu dwóch macierzy. Jest to zupełnie inne działanie. O wiele bardziej skomplikowane, ale też interesujące! Zobaczmy jak to się robi.

Zrozumienie jak znaleźć iloczyn skalarny dwóch uporządkowanych list liczb pomoże nam w tym trudnym zadaniu, więc nauczmy się najpierw tego!

$n$ ‍-krotki i iloczyn skalarny

Wiemy już, co to są pary uporządkowane, na przykład

(2, 5)

, i wiemy nawet co to są trójki uporządkowane, na przykład

(3, 1, 8)

n

-krotka to uogólnienie tej koncepcji. Jest to uporządkowana lista

n

liczb.

Możemy znaleźć iloczyn skalarny dwóch

n

-krotek równej długości sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów.

Na przykład żeby znaleźć iloczyn skalarnych dwóch uporządkowanych par, mnożymy przez siebie pierwsze współrzędne obu par i drugie współrzędne obu par, a potem dodajemy wyniki.

\begin{aligned} (2, 5) \cdot (3, 1) & = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 \\ = 6 + 5 \\ = 11 \end{aligned}

Uporządkowane

n

-krotki są często zaznaczane jako zmienna ze strzałką na górze. Na przykład możemy zapisać

\vec{a} = (3, 1, 8)

\vec{b} = (4, 2, 3)

. Wyrażenie

\vec{a} \cdot \vec{b}

wskazuje iloczyn skalarny tych dwóch uporządkowanych trójek i może być znaleziony w ten sposób:

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & = (3, 1, 8) \cdot (4, 2, 3) \\ = 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 8 \cdot 3 \\ = 12 + 2 + 24 \\ = 38 \end{aligned}

Zauważ, że iloczyn skalarny dwóch

n

-krotek równej długości zawsze jest pojedynczą liczbą rzeczywistą.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Niech $\vec{c} = (4, 3)$ ‍ a $\vec{d} = (3, 5)$ ‍.

\vec{c} \cdot \vec{d} =

2) Niech $\vec{m} = (2, 5, - 2)$ ‍ i $\vec{n} = (1, 8, - 3)$ ‍.

\vec{m} \cdot \vec{n} =

Macierze i $n$ ‍-krotki

Kiedy mnożymy macierze, pomocne może się okazać rozpatrywanie każdego wiersza i kolumny jako

n

-krotki.

\begin{array}{rccc} \vec{c_{1}} & \vec{c_{2}} \\ ↓ & ↓ \\ \begin{array}{c} \vec{r_{1}} \to \\ \vec{r_{2}} \to \end{array} & [\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}] \end{array}

W tej macierzy wiersz

1

jest oznaczony jako

\vec{r_{1}} = (6, 2)

, a wiersz

2

jest oznaczony jako

\vec{r_{2}} = (4, 3)

. (wiersz - ang. row, stąd litera r jako skrót)

Podobnie kolumna

1

jest oznaczona jako

\vec{c_{1}} = (6, 4)

, a kolumna

2

jest oznaczona jako

\vec{c_{2}} = (2, 3)

. (kolumna, ang. column)

Sprawdź, czy rozumiesz

\begin{array}{rccc} \vec{c_{1}} & \vec{c_{2}} & \vec{c_{3}} \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ \begin{array}{c} \vec{r_{1}} \to \\ \vec{r_{2}} \to \\ \vec{r_{3}} \to \end{array} & [\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 4 \end{matrix}] \end{array}

3) Która z tych uporządkowanych trójek to $\vec{c_{2}}$ ‍?

Mnożenie macierzy

Jesteśmy już gotowi, żeby przyjrzeć się przykładowi mnożenia macierzy.

Wiedząc, że

A = [\begin{array}{rr} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 3 & 3 \\ 5 & 2 \end{array}]

, wyznaczmy macierz

C = A B

Żeby pomóc sobie zrozumieć, oznaczmy wiersze w macierzy

A

i kolumny w macierzy

B

. Określamy macierz wynikową, macierz

C

, tak jak pokazano poniżej.

\begin{array}{ccccccccc} \vec{b_{1}} & \vec{b_{2}} \\ ↓ & ↓ \\ \begin{matrix} \vec{a_{1}} \to \\ \vec{a_{2}} \to \end{matrix} & [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}] & \cdot & [\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] & = & [\begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} \end{matrix} & \begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{matrix}] \\ A & B & C \end{array}

Zauważ, że każdy element w macierzy

C

to iloczyn skalarny wiersza w macierzy

A

i kolumny w macierzy

B

. A konkretnie, element

c_{i, j}

to iloczyn skalarny

\vec{a_{i}}

\vec{b_{j}}

Na przyklad, element

c_{1, 2}

jest iloczynem skalarnym

\vec{a_{1}}

\vec{b_{2}}

\begin{array}{ccccc} [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}] & \cdot & [\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] & = & [\begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} \end{matrix} & \begin{matrix} 17 \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{matrix}] \end{array}

Możemy uzupełnić iloczyny skalarne żeby znaleźć kompletną macierz wynikową:

C = [\begin{array}{rr} 38 & 17 \\ 26 & 14 \end{array}]

Sprawdź, czy rozumiesz

C = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{array}]

oraz

D = [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 6 \end{array}]

Niech

F = C \cdot D

a) Która z tych liczb to $f_{2, 1}$ ‍?

b) Znajdź $F$ ‍.

F =

X = [\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}]

, a

Y = [\begin{array}{rrr} 2 & 8 \\ 5 & 4 \end{array}]

Oblicz $Z = X \cdot Y$ ‍.

Z =

M = [\begin{array}{rrr} 2 & 8 & 3 \\ 5 & 4 & 1 \end{array}]

, a

N = [\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 6 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}]

Niech

P = M \cdot N

a) Która z następujących liczb odpowiada $p_{1, 2}$ ‍?

b) Znajdź $P$ ‍.

P =

Dlaczego mnożenie macierzy jest zdefiniowane w ten sposób?

Do tej pory zapewne działania na macierzach wydawały Ci się w miarę zgodne z intuicją. Na przykład kiedy dodajesz dwie macierze, dodajesz odpowiadające sobie elementy.

Jednak nie działa to podobnie jeśli chodzi o mnożenie. Żeby pomnożyć dwie macierze, nie możemy po prostu pomnożyć odpowiadających sobie elementów.

Jeśli sprawia Ci to kłopot, polecamy zajrzeć do następujących artykułów, w których zobaczyć zastosowanie mnożenia macierzy przez macierz.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Chmiel
Opublikowane 5 lat temu. Odnosi się do postu Chmiel's o treści “Mniej więcej tak w połowi...”
Mniej więcej tak w połowie po lewej stronie występuje błąd, bo przeniósł treść w złe miejsce :o
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(1 głos)
Odpowiedź

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Wstęp do analizy matematycznej

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 7

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Mnożenie macierzy przez skalar i mnożenie macierzy przez macierz

n‍ -krotki i iloczyn skalarny

Sprawdź, czy rozumiesz

Macierze i n‍ -krotki

Sprawdź, czy rozumiesz

Mnożenie macierzy

Sprawdź, czy rozumiesz

Dlaczego mnożenie macierzy jest zdefiniowane w ten sposób?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

$n$ ‍-krotki i iloczyn skalarny

Macierze i $n$ ‍-krotki