Główna zawartość

Wymiary w mnożeniu macierzy

Dowiedz się jakie warunki muszą zostać spełnione, żeby mnożenie macierzy było określone, oraz o wymiarach iloczynu dwóch macierzy. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Macierz to układ liczb zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Liczby te nazywamy elementami macierzy lub wyrazami macierzy.

Wymiary macierzy określają liczbę jej wierszy i kolumn, zawsze w takim porządku. Macierz

A

2

wiersze i

3

kolumny, a zatem jest to macierz

2 \times 3

Jeśli masz poczucie, że ten materiał jest zupełnie nowy dla Ciebie, zajrzyj do rozdziału wprowadzenie do macierzy.

W mnożeniu macierzy każda wartość w macierzy wynikowej jest iloczynem skalarnym wiersza w pierwszej macierzy i kolumny w drugiej macierzy.

Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego artykułu o mnożeniu macierzy.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Będziemy badać związek pomiędzy wymiarami dwóch macierzy a wymiarami ich iloczynu. Przyjrzymy się szczególnie temu, że macierze muszą spełniać określone warunki żeby ich mnożenie było określone.

Kiedy mnożenie macierzy jest dobrze określone?

Żeby mnożenie macierzy było określone, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.

Żeby przekonać się dlaczego, weźmy na przykład następujące dwie macierze:

$A = [\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 5 \end{array}]$ ‍, oraz $B = [\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & 1 \end{array}]$ ‍

Żeby znaleźć

A B

, wykonujemy iloczyn skalarny wiersza z

A

i kolumny z

B

. Oznacza to, że liczba elementów w każdym wierszu w $A$ ‍ musi być taka sama, jak liczba elementów w każdej kolumnie w $B$ ‍.

$A = [\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 5 \end{array}]$ ‍, a $B = [\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & 1 \end{array}]$ ‍

Zauważ, że jeśli macierz ma po dwa elementy w każdym wierszu, to macierz ma dwie kolumny. Podobnie, jeśli macierz ma po dwa elementy w każdej kolumnie, to musi mieć dwa wiersze.

Wynika więc z tego, że żeby mnożenie macierzy było określone, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.

Sprawdź, czy rozumiesz

A = [\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \end{array}]

, a

B = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 8 & 5 \end{array}]

Czy iloczyn $A B$ ‍ jest określony?

C = [\begin{array}{rrrr} 5 & 3 & 6 & 1 \\ 6 & 8 & 5 & 3 \end{array}]

, a

D = [\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 8 \\ 7 & 5 & 5 \end{array}]

Czy iloczyn $C D$ ‍ jest określony?

A

to macierz

4 \times 2

, a

B

to macierz

2 \times 3

Czy iloczyn $A B$ ‍ jest określony?

Czy iloczyn $B A$ ‍ jest określony?

Upewnij się, że zwracasz uwagę na kolejność macierzy w iloczynie.

Żeby określić, czy

A B

jest zdefiniowana, musimy sprawdzić liczbę kolumn w macierzy

A

i liczbę wierszy w macierzy

B

$A$ ‍ to macierz $4 \times 2$ ‍ . Ma $2$ ‍ kolumny.
$B$ ‍ to macierz $2 \times 3$ ‍. Ma $2$ ‍ wiersze.

Ponieważ liczba kolumn w macierzy

A

jest równa liczbie wierszy w macierzy

B

A B

jest określone.

Żeby określić, czy

B A

jest zdefiniowana, musimy sprawdzić liczbę kolumn w macierzy

B

i liczbę wierszy w macierzy

A

$B$ ‍ to macierz $2 \times 3$ ‍. Ma $3$ ‍ kolumny.
$A$ ‍ to macierz $4 \times 2$ ‍. Ma $4$ ‍ wiersze.

Liczba kolumn w macierzy

B

nie jest równa liczbie wierszy w macierzy

A

, więc macierz

B A

nie jest zdefiniowana.

Własności wymiarów przy mnożeniu macierzy

Iloczyn macierzy

m \times n

i macierzy

n \times k

daje macierz

m \times k

Rozwarzmy iloczyn

A B

, gdzie

A = [\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 5 \end{array}]

, a

B = [\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & 1 \end{array}]

Z powyższego wynika, że macierz

A B

jest zdefiniowana, ponieważ liczba kolumn

A_{3 \times 2}

(2)

pasuje do liczby wierszy

B_{2 \times 4}

(2)

Żeby znaleźć

A B

, musimy obliczyć iloczyn skalarny każdego wiersza w macierzy

A

z każdą kolumną macierzy

B

. Tak więc powstała macierz będzie miała taką samą liczbę wierszy co macierz

A_{3 \times 2}

(3)

i taką samą liczbę kolumn co macierz

B_{2 \times 4}

(4)

. Będzie to macierz

3 \times 4

Sprawdź, czy rozumiesz

A = [\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \end{array}]

, a

B = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 8 & 5 \end{array}]

Jakie wymiary ma macierz $A B$ ‍?

\times

C = [\begin{array}{rr} 4 & 3 & 1 \\ 6 & 7 & 2 \end{array}]

, a

D = [\begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}]

Jakie wymiary ma macierz $C D$ ‍?

\times

A

to macierz

2 \times 3

, a

B

to macierz

3 \times 4

Jakie wymiary ma macierz $A B$ ‍?

\times

X

to macierz

2 \times 1

, a

Y

to macierz

1 \times 2

Jakie wymiary ma macierz $X Y$ ‍?

\times

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Wstęp do analizy matematycznej

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 7

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Kiedy mnożenie macierzy jest dobrze określone?

Sprawdź, czy rozumiesz

Własności wymiarów przy mnożeniu macierzy

Sprawdź, czy rozumiesz

Chcesz dołączyć do dyskusji?