Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (zaawansowane)

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów.

Żeby dodać lub odjąć dwa wyrażenia wymierne mające taki sam mianownik, po prostu dodajemy lub odejmujemy ich liczniki, a potem zapisujemy wynik nad wspólnym mianownikiem.

Kiedy mianowniki nie są takie same, musimy przekształcić je żeby stały się takie same. Innymi słowy, musimy znaleźć wspólny mianownik.

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, sprawdź najpierw następujące artykuły:

W tej lekcji poćwiczysz dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych z różnymi mianownikami. Będziesz używać najmniejszego wspólnego mianownika jako wspólnego mianownika w tych przykładach i odkrywać, dlaczego warto tak robić.

Żeby odjąć dwa wyrażenia wymierne, każde z nich musi mieć taki sam mianownik!

W tym przykładzie stworzymy wspólny mianownik mnożąc pierwszy ułamek przez $\left({\displaystyle \frac{x+1}{x+1}}\right)$‍ i drugi ułamek przez $\left({\displaystyle \frac{x-2}{x-2}}\right)$‍.

Następnie możemy odjąć liczniki i zapisać wynik ze wspólnym mianownikiem.

Czasami mianowniki dwóch ułamków są różne, a jednak niektóre czynniki mają wspólne.

Spójrzmy na przykład na ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$‍:

Zauważ, że wspólny mianownik użyty w tym przykładnie nie był iloczynem dwóch poszczególnych mianowników $(24)$‍. Zamiast tego była to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $4$‍ i $6$‍ $($‍ czyli $12)$‍.

Najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników dla dwóch lub więcej ułamków jest nazywana najmniejszym wspólnym mianownikiem.

Zastosujmy teraz to rozumowanie do wykonania następującego dodawania:

Najpierw znajdź najmniejszy wspólny mianownik:

Więc najmniejszy wspólny mianownik to $(x-2)(x+1)(x+3)$‍.

Możemy dodać dwa wyrażenia wymierne w następujący sposób:

Możesz się zastanawiać dlaczego to takie ważne żeby używać tego najmniejszego wspólnego mianownika przy dodawaniu i odejmowaniu wyrażeń wymiernych.

W końcu nie jest to wymagane, a wystarczająco łatwo używa się innych mianowników z ułamkami liczbowymi.

Na przykład w poniższej tabeli są obliczenia dla ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$‍ przy użyciu dwóch różnych wspólnych mianowników — jedno używa najmniejszego wspólnego mianownika $(12)$‍ a drugie używa iloczynu dwóch mianowników $(24)$‍.

Zauważ, że używając $24$‍ jako wspólnego mianownika musisz wykonać więcej pracy. Liczby są większe a ułamek w wyniku musi zostać dodatkowo uproszczony.

Stanie się tak jeśli nie użyjesz najmniejszego wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.

Jednakże przy wyrażeniach wymiernych całe rozwiązywanie jest o wiele trudniejsze, ponieważ liczniki i mianowniki będą wielomianami, a nie liczbami całkowitymi! Będziesz musieć wykonywać działania arytmetyczne z wielomianami wyższego stopnia i rozkładać te wielomiany na czynniki żeby uprościć ułamek.

Całej tej dodatkowej pracy można uniknąć używając najmniejszego wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.