If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do analizy matematycznej

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 4

Lekcja 1: Upraszczanie wyrażeń wymiernych
Matematyka
Wstęp do analizy matematycznej
Funkcje wymierne
Upraszczanie wyrażeń wymiernych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wprowadzenie do wyrażeń wymiernych

Google Classroom
Co to są wyrażenia wymierne i dla jakich wartości argumentów nie są określone.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji poznasz wyrażenia wymierne. Dowiesz się, jak określić, kiedy wyrażenie wymierne jest niezdefiniowane i jak znaleźć jego dziedzinę.

Co to jest wyrażenie wymierne?

Wielomian to wyrażenie, które składa się z sumy wyrazów zawierających całkowite, nieujemne potęgi x, np. 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 1.
Wyrażenie wymierne to po prostu stosunek dwóch wielomianów. Innymi słowy, to ułamek, którego licznik i mianownik są wielomianami.
Tutaj podano przykłady wyrażeń wymiernych:
start fraction, 1, divided by, x, end fraction, start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction
Zauważ, że licznik może być liczbą stałą i że wielomiany mogą być różnego stopnia i rożnego rodzaju..

Nieokreślone wartości wyrażeń wymiernych

Rozważmy wyrażenie wymierne postaci start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
Możemy określić jaka jest wartość tego wyrażenia dla konkretnej wartości x. Na przykład, obliczmy wartość wyrażenia dla start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd.
2(1)+31−2=  5−1=−5\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{~~5}{-1}\\ \\ &= \goldD{-5} \\ \end{aligned}
Stąd widzimy, że wartość wyrażenia dla start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd wynosi start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Teraz znajdźmy wartość wyrażenia dla start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.
2(2)+32−2=70=niezdefiniowane!\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &=\goldD{\text{niezdefiniowane!}} \\ \end{aligned}
Argument 2 powoduje, że mianownik wynosi 0. Ponieważ dzielenie przez 0 jest niezdefiniowane, start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd nie jest możliwym argumentem tego wyrażenia!

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dziedziną dowolnego wyrażenia nazywamy zbiór wszystkich możliwych jego argumentów.
W przypadku wyrażenia wymiernego, argumentem może być każda liczba poza taką, która spowoduje, że mianownik będzie wynosił 0 (ponieważ dzielenie przez 0 nie jest zdefiniowane).
Innymi słowy, dziedzina wyrażenia wymiernego zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, poza takimi dla których mianownik wynosi zero.

Przykład: Znalezienie dziedziny start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

Znajdźmy takie wartości x dla których mianownik wynosi zero i wykluczmy je z dziedziny:
(x−3)(x+4)=0x−3=0orx+4=0Iloczyn dwoˊch liczb wynosi zerox=3orx=−4Rozwiązacˊ na x\begin{aligned} &(x-3)(x+4)= 0 \\\\ &x-3=0 \quad \text{or} \quad x+4=0 &&\small{\gray{\text{Iloczyn dwóch liczb wynosi zero}}}\\\\ &x = 3 \quad\text{or} \quad x=-4 &&\small{\gray{\text{Rozwiązać na $x$}}}\end{aligned}
Więc piszemy, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste bez start text, 3, end text i start text, negative, 4, end text, albo po prostu x, does not equal, 3, comma, minus, 4.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Jaka jest dziedzina start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction?
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Jaka jest dziedzina start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction?
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Jaka jest dziedzina start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction?
Wybierz 1 odpowiedź:

Sprawdź się!

4*) Jaka jest dziedzina start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction?
Wybierz 1 odpowiedź:

5*) Jak jest dziedzina start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.