If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do analizy matematycznej

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 2

Lekcja 8: Modelowanie za pomocą funkcji trygonometrycznych
Matematyka
Wstęp do analizy matematycznej
Trygonometria
Modelowanie za pomocą funkcji trygonometrycznych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Przegląd równań trygonometrycznych

Google Classroom
Przypomnij sobie, co wiesz o równaniach trygonometrycznych i zastosuj tę wiedzę do kilku zadań o rosnącym stopniu trudności.

Ćwiczenie 1: rozwiązywanie prostych równań za pomocą funkcji cyklometrycznych

Przykład: rozwiązanie równania sine, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 55

Obliczenia wykonamy na kalkulatorze, zaokrąglając do setnych.
sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 0, comma, 55, right parenthesis, equals, 0, comma, 58
(Liczymy w radianach.)
Możemy wykorzystać tożsamość sine, left parenthesis, pi, minus, theta, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis aby wyznaczyć drugie rozwiązanie leżące w przedziale open bracket, 0, comma, 2, pi, close bracket.
pi, minus, 0, comma, 58, equals, 2, comma, 56
Korzystając z tożsamości sine, left parenthesis, theta, plus, 2, pi, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis możemy wyznaczyć, na podstawie tych dwóch rozwiązań, wszystkie inne rozwiązania.
x, equals, 0, comma, 58, plus, n, dot, 2, pi
x, equals, 2, comma, 56, plus, n, dot, 2, pi
Gdzie, n jest dowolną liczbą całkowitą.

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 1.1
  • Prąd elektryczny
Zaznacz jedno lub więcej wyrażeń będących rozwiązaniami równania.
Odpowiedzi są podane w radianach. n jest dowolną liczbą naturalną.
cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 15
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: zadania zaawansowane

Przykład: rozwiązanie równania 16, cosine, left parenthesis, 15, x, right parenthesis, plus, 8, equals, 2

Zacznijmy od wyodrębnienia funkcji trygonometrycznej:
16cos⁡(15x)+8=216cos⁡(15x)=−6cos⁡(15x)=−0,375\begin{aligned}16\cos(15x)+8&=2\\\\ 16\cos(15x)&=-6\\\\ \cos(15x)&=-0{,}375\end{aligned}
Obliczenia wykonamy na kalkulatorze, zaokrąglając do tysięcznych.
cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 375, right parenthesis, equals, 1, comma, 955
Możemy wykorzystać tożsamość cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, minus, theta, right parenthesis aby wyznaczyć drugie rozwiązanie leżące w przedziale open bracket, minus, pi, comma, pi, close bracket, czyli minus, 1, comma, 955.
Korzystając z okresowości cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, theta, plus, 2, pi, right parenthesis możemy wyznaczyć wszystkie rozwiązania naszego równania na podstawie dwóch rozwiązań przedstawionych powyżej. Następnie rozwiążemy równanie na x (pamiętając, że argumentem funkcji jest 15, x):
15x=1,955+n⋅2πx=1,955+n⋅2π15x=0,130+n⋅2π15\begin{aligned} 15x&=1{,}955+n\cdot2\pi \\\\ x&=\dfrac{1{,}955+n\cdot2\pi}{15} \\\\ x&=0{,}130+n\cdot\dfrac{2\pi}{15} \end{aligned}
W podobny sposób stwierdzamy, że drugie rozwiązanie ma postać x, equals, minus, 0, comma, 130, plus, n, dot, start fraction, 2, pi, divided by, 15, end fraction .

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 2.1
  • Prąd elektryczny
Zaznacz jedno lub więcej wyrażeń będących rozwiązaniami równania.
Odpowiedzi są podane w radianach. n jest dowolną liczbą naturalną.
20, sine, left parenthesis, 10, x, right parenthesis, minus, 10, equals, 5
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: zadania z tekstem

Zadanie 3.1
  • Prąd elektryczny
L, left parenthesis, t, right parenthesis nodeluje długośc dnia (w minutach) w Manili na Filipinach, t dni after po równonocy wiosennej. Tutaj t wpisane jest w radianach.
L, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 52, sine, left parenthesis, start fraction, 2, pi, divided by, 365, end fraction, t, right parenthesis, plus, 728
Jeki jest pierwszy dzień po równonocy wiosennej, którego długość wynosi 750 minut?
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższego pełnego dnia.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
dni

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.