If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do analizy matematycznej

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej > Rozdział 2

Lekcja 6: Rozwiązywanie trójkątów
Matematyka
Wstęp do analizy matematycznej
Trygonometria
Rozwiązywanie trójkątów
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Przegląd wiadomości na temat twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

Google Classroom
Przegląd zastosowań twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów oraz ich użycie do rozwiązywania zadań o dowolnych trójkątach. Tłumaczenie na polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego

Twierdzenie sinusów

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Twierdzenie cosinusów

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
Chcesz dowiedzieć się więcej o twierdzeniu sinusów? Obejrzyj ten film.
Chcesz dowiedzieć się więcej o twierdzeniu cosinusów? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenie 1: wyznaczanie miar kątów i długości boków w trójkątach za pomocą twierdzenia sinusów

Dzięki twierdzeniu sinusów możemy wyznaczyć brakującą miarę kąta, mając dane dwa boki i kąt, lub obliczyć nieznaną długość boku znając dwa kąty i jeden bok.

Przykład 1: obliczanie nieznanej długości boku

Obliczmy długość boku A, C w tym trójkącie:
Z twierdzenia sinusów wynika, że start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis, end fraction. Podstawmy odpowiednie wartości i rozwiążmy otrzymane równanie:
ABsin⁡(∠C)=ACsin⁡(∠B)5sin⁡(33∘)=ACsin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC8,45≈AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Przykład 1: obliczanie miary nieznanego kąta

Obliczmy nieznaną miarę kąta, m, angle, A, w tym trójkącie:
Z twierdzenia sinusów wynika, że start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, A, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction. Podstawmy odpowiednie wartości i rozwiążmy otrzymane równanie:
BCsin⁡(∠A)=ABsin⁡(∠C)11sin⁡(∠A)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(∠A)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(∠A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
Do obliczeń wykorzystamy kalkulator, a wynik zaokrąglimy do dziesiątych:
m, angle, A, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degrees
Pamiętaj, że jeśli nieznany kąt jest kątem rozwartym, prawidłową odpowiedź otrzymasz odejmując od 180, degrees wynik działania na kalkulatorze.
Zadanie 1.1
  • Prąd elektryczny
B, C, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zaokrąglij wynik do części dziesiątych.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: wyznaczanie miar kątów i długości boków w trójkątach za pomocą twierdzenia cosinusów

Dzięki twierdzeniu cosinusów możemy wyznaczyć brakującą miarę kąta, mając dane trzy boki trójkąta. Twierdzenie cosinusów możemy także wykorzystać do wyznaczenia brakującej długości boku trójkąta, jeśli znamy pozostałe dwa boki i jeden kąt.

Przykład 1: obliczanie miary kąta

Obliczmy nieznaną miarę kąta, m, angle, B, w tym trójkącie:
Korzystając z twierdzenia cosinusów:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(∠B)25=100+36−120cos⁡(∠B)120cos⁡(∠B)=111cos⁡(∠B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Do obliczeń wykorzystamy kalkulator, a wynik zaokrąglimy do dziesiątych:
m, angle, B, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degrees

Przykład 2: obliczanie nieznanej długości boku

Obliczmy długość boku A, B w tym trójkącie:
Korzystając z twierdzenia cosinusów:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
(AB)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Zadanie 2.1
  • Prąd elektryczny
m, angle, A, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Zaokrąglij wynik do pełnych stopni.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: trójkąty w zadaniach z tekstem

Zadanie 3.1
  • Prąd elektryczny
„Został już tylko jeden.” Rafał zasygnalizował do swojego brata z kryjówki.
Mateusz kiwa głowa, że zrozumiał. Dostrzegł ostatniego złego robota.
"34 stopnie." Mateusz zasygnalizował do brata, informując Rafała o kącie, jaki zaobserwował pomiędzy Rafałem a robotem.
Rafał notuje tę wartość na rysunku (pokazanym poniżej) i wykonuje obliczenia. Kalibruje swoje działo laserowe na odpowiednią odległość, wstaje, celuje i odpala broń .
Na jaką odległość skalibrował Rafał swoje działo laserowe?
Nie zaokrąglaj wyników podczas obliczeń. Zaokrąglij dopiero swoją ostateczną odpowiedź do pełnego metra.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, space, m, end text

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.