Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń

W rachunku prawdopodobieństwa przyjmuje się, że dwa zdarzenia są niezależne, jeśli to, że zaszło jedno z nich nie zmienia prawdopodobieństwa zajścia drugiego.

Na przykład, prawdopodobieństwo tego, że w rzucie symetryczną monetą wypadnie orzeł, wynosi $1/2$‍. Ale co będzie, jeśli wiemy, że jest wtorek? Czy zmienia to szansę uzyskania orła? Oczywiście, że nie. Prawdopodobieństwo otrzymania orła pod warunkiem, że jest wtorek, nadal wynosi $1/2$‍. Tak więc wynik rzutu monetą oraz to, że będzie akurat wtorek to zdarzenia niezależne - wiedza o tym, że jest wtorek nie zmienia szansy uzyskania orła.

Nie każda sytuacja jest jednak aż tak oczywista. Co na przykład z płcią i preferencją prawej/lewej ręki? Mogłoby się zdawać, że płeć danej osoby oraz to, czy jest ona, czy też nie jest leworęczna, to w zupełnie niezależne zdarzenia. Gdy jednak przyjrzymy się odpowiednim prawdopodobieństwom, okaże się , że około $10\mathrm{\%}$‍ populacji jest leworęczna, ale wśród mężczyzn takich osób jest już około $12\mathrm{\%}$‍. Tak więc zdarzenia te nie są niezależne, ponieważ wiedza o tym, że losowa osoba jest mężczyzną, zwiększa szansę, że okaże się ona leworęczna.

Zasadniczy pomysł polega na tym, by sprawdzać niezależność zdarzeń za pomocą ich prawdopodobieństwa.

Powiemy, że dwa zdarzenia A i B są niezależne, gdy zachodzi $P(\text{A }|\text{ B})=P(\text{A})$‍ oraz $P(\text{B }|\text{ A})=P(\text{B})$‍.

Uczeni przebadali roczne dochody ostatnich absolwentów dwóch różnych uniwersytetów. Poniższa dwuwymiarowa tabela przedstawia dane uzyskane od $300$‍ respondentów, którzy wzięli udział w sondażu.

Przypuśćmy teraz, że wybieramy losowego absolwenta spośród tych respondentów.

Sprawdźmy to, posługując się prawdopodobieństwem warunkowym.

A oto raz jeszcze dane z poprzedniego przykładu:

Przypuśćmy teraz, że wybieramy losowego absolwenta spośród tych respondentów.

Sprawdźmy to, posługując się prawdopodobieństwem warunkowym.

When we check for independence in real world data sets, it's rare to get perfectly equal probabilities. Just about all real events that don't involve games of chance are dependent to some degree.

In practice, we often assume that events are independent and test that assumption on sample data. If the probabilities are significantly different, then we conclude the events are not independent. We'll learn more about this process in inferential statistics.

Finally, be careful not to make conclusions about cause and effect unless the data came from a well-designed experiment. For a challenge, can you think of some outside variables — apart from the universities — that may be the cause of the income disparity between the graduates at the two universities in Example 2?