Główna zawartość

Statystyka i prawdopodobieństwo

Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 7

Lekcja 9: Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń

Diagramy w postaci drzewka i prawdopodobieństwo warunkowe

Przykład: kontrola bagaży na lotnisku

Na lotnisku ochrona prześwietla bagaże pasażerów w poszukiwaniu zabronionych przedmiotów i specjalny alarm powinien się włączyć gdy system wykryje zabroniony przedmiot.

Załóżmy, że $5 %$ ‍ walizek zawiera zabronione przedmioty.
Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce znajduje się zabroniony przedmiot wynosi $98 %$ ‍.
Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce nie ma zabronionych przedmiotów wynosi $8 %$ ‍.

Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?

Podzielmy to zadanie na mniejsze części i przeanalizujmy każdą z nich.

Początek diagramu drzewowego

Prawdopodobieństwo, że system włączy alarm, zależy od tego, czy w walizce znajdują się zabronione przedmioty, a zatem powinniśmy zacząć od rozróżnienia między walizkami, które zawierają i tymi, które nie zawierają zabronionych przedmiotów.

"Załóżmy, że $5 %$ ‍ walizek zawiera zabronione przedmioty."

Pytanie 1

Ile wynosi prawdopodobieństwo że losowa wybrana walizka NIE zawiera zabronionych przedmiotów?

P (niezabronione) =

Wypełniamy diagram drzewowy

"Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce znajduje się zabroniony przedmiot wynosi $98 %$ ‍"

"Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce nie ma zabronionych przedmiotów wynosi $8 %$ ‍."

Możemy teraz wykorzystać te wszystkie fakty i opisać kolejne gałęzie diagramu drzewowego w następujący sposób:

Pytanie 2

Jeśli walizka zawiera zabroniony przedmiot, ile wynosi prawdopodobieństwo że alarm NIE zostanie włączony?

?_{1} =

Pytanie 3

Jeśli walizka NIE zawiera zabronionych przedmiotów, ile wynosi prawdopodobieństwo że alarm NIE zostanie włączony?

?_{2} =

Uzupełnienie diagramu drzewowego

Aby uzupełnić nasz diagram drzewowy, mnożymy prawdopodobieństwa idąc po każdej ze ścieżek diagramu.

Tak wygląda nasz kompletny diagram drzewowy:

Rozwiązanie zadania

Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?

Podstaw prawdopodobieństwa obliczone w diagramie drzewowym do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

P (zabronione | alarm) = \frac{P (F \cap A)}{P (A)}

[Co jednak należy rozumieć przez te oznaczenia?]

Pytanie 4

Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana walizka zawiera zabroniony przedmiot I powoduje włączenie alarmu.

P (F \cap A) =

Pytanie 5

Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana walizka powoduje włączenie alarmu.

P (A) =

Pytanie 6

Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?
Wynik podaj z dokładnością do trzech cyfr po przecinku.

P (F | A) =

[Hej, dlaczego to prawdopodobieństwo jest takie małe?]

A teraz spróbuj sam!

Pacjenci są testowani w szpitalu na obecność przeciwciał świadczących o zachorowaniu na pewną przewlekłą chorobę. Jeśli pacjent jest chory, test powinien dać wynik "dodatni". Jeśli pacjent nie jest chory, test powinien dać wynik "ujemny". Nie ma jednak testów doskonałych.

W przypadku $99 %$ ‍ pacjentów, którzy są chorzy, test da wynik dodatni.
W przypadku $5 %$ ‍ pacjentów, którzy nie są chorzy, test także da wynik dodatni.
Około $10 %$ ‍ populacji choruje na tę chorobę.

W przypadku jednego z pacjentów test dał wynik dodatni. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent ten jest rzeczywiścio chory na tę chorobę?

Krok 1

Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pacjent jest chory (C) I w jego przypadku test dał wynik dodatni (+).

P (C \cap +) =

Krok 2

Oblicz prawdopodobieństwo, że w przypadku losowo wybranego pacjenta test dał wynik dodatni (+).

P (+) =

Krok 3

W przypadku jednego z pacjentów test dał wynik dodatni. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent ten jest rzeczywiścio chory na tę chorobę?
Odpowiedż zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.

P (C | +) =

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.