If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Statystyka i prawdopodobieństwo

Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 7

Lekcja 9: Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń
Matematyka
Statystyka i prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Diagramy w postaci drzewka i prawdopodobieństwo warunkowe

Google Classroom

Przykład: kontrola bagaży na lotnisku

Na lotnisku ochrona prześwietla bagaże pasażerów w poszukiwaniu zabronionych przedmiotów i specjalny alarm powinien się włączyć gdy system wykryje zabroniony przedmiot.
  • Załóżmy, że 5, percent walizek zawiera zabronione przedmioty.
  • Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce znajduje się zabroniony przedmiot wynosi 98, percent.
  • Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce nie ma zabronionych przedmiotów wynosi 8, percent.
Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?
Podzielmy to zadanie na mniejsze części i przeanalizujmy każdą z nich.

Początek diagramu drzewowego

Prawdopodobieństwo, że system włączy alarm, zależy od tego, czy w walizce znajdują się zabronione przedmioty, a zatem powinniśmy zacząć od rozróżnienia między walizkami, które zawierają i tymi, które nie zawierają zabronionych przedmiotów.
"Załóżmy, że 5, percent walizek zawiera zabronione przedmioty."
Pytanie 1
Ile wynosi prawdopodobieństwo że losowa wybrana walizka NIE zawiera zabronionych przedmiotów?
P, left parenthesis, start text, n, i, e, z, a, b, r, o, n, i, o, n, e, end text, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Wypełniamy diagram drzewowy

"Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce znajduje się zabroniony przedmiot wynosi 98, percent"
"Prawdopodobieństwo, że włączy się alarm gdy w walizce nie ma zabronionych przedmiotów wynosi 8, percent."
Możemy teraz wykorzystać te wszystkie fakty i opisać kolejne gałęzie diagramu drzewowego w następujący sposób:
Pytanie 2
Jeśli walizka zawiera zabroniony przedmiot, ile wynosi prawdopodobieństwo że alarm NIE zostanie włączony?
question mark, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pytanie 3
Jeśli walizka NIE zawiera zabronionych przedmiotów, ile wynosi prawdopodobieństwo że alarm NIE zostanie włączony?
question mark, start subscript, 2, end subscript, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Uzupełnienie diagramu drzewowego

Aby uzupełnić nasz diagram drzewowy, mnożymy prawdopodobieństwa idąc po każdej ze ścieżek diagramu.
Tak wygląda nasz kompletny diagram drzewowy:

Rozwiązanie zadania

Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?
Podstaw prawdopodobieństwa obliczone w diagramie drzewowym do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
P, left parenthesis, start text, z, a, b, r, o, n, i, o, n, e, space, end text, vertical bar, start text, space, a, l, a, r, m, end text, right parenthesis, equals, start fraction, P, left parenthesis, start text, F, end text, \cap, start text, A, end text, right parenthesis, divided by, P, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis, end fraction
Pytanie 4
Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana walizka zawiera zabroniony przedmiot I powoduje włączenie alarmu.
P, left parenthesis, start text, F, end text, \cap, start text, A, end text, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pytanie 5
Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana walizka powoduje włączenie alarmu.
P, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pytanie 6
Załóżmy, że jedna z walizek spowodowała włączenie sygnału alarmowego. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w tej walizce znajduje się zabroniony przedmiot?
Wynik podaj z dokładnością do trzech cyfr po przecinku.
P, left parenthesis, start text, F, end text, vertical bar, start text, A, end text, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

A teraz spróbuj sam!

Pacjenci są testowani w szpitalu na obecność przeciwciał świadczących o zachorowaniu na pewną przewlekłą chorobę. Jeśli pacjent jest chory, test powinien dać wynik "dodatni". Jeśli pacjent nie jest chory, test powinien dać wynik "ujemny". Nie ma jednak testów doskonałych.
  • W przypadku 99, percent pacjentów, którzy są chorzy, test da wynik dodatni.
  • W przypadku 5, percent pacjentów, którzy nie są chorzy, test także da wynik dodatni.
  • Około 10, percent populacji choruje na tę chorobę.
W przypadku jednego z pacjentów test dał wynik dodatni. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent ten jest rzeczywiścio chory na tę chorobę?
Krok 1
Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pacjent jest chory (C) I w jego przypadku test dał wynik dodatni (+).
P, left parenthesis, start text, C, end text, \cap, start text, plus, end text, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Krok 2
Oblicz prawdopodobieństwo, że w przypadku losowo wybranego pacjenta test dał wynik dodatni (+).
P, left parenthesis, start text, plus, end text, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Krok 3
W przypadku jednego z pacjentów test dał wynik dodatni. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent ten jest rzeczywiścio chory na tę chorobę?
Odpowiedż zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.
P, left parenthesis, start text, C, end text, vertical bar, start text, plus, end text, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.