Uogólniona reguła mnożenia w prawdopodobieństwie

Gdy liczymy prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia ORAZ zajścia innego zdarzenia, mnożymy ich prawdopodobieństwa.

W pewnych przypadkach zajście pierwszego zdarzenia wpływa na prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia. Mówimy wówczas o zdarzeniach zależnych.

W innych przypadkach zajście pierwszego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Mówimy wówczas o zdarzeniach niezależnych.

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania orła dwa razy z rzędu w dwóch rzutach symetryczną monetą? Inaczej mówiąc: jaka jest szansa uzyskania orła w pierwszym rzucie ORAZ orła w drugim rzucie?

Wyobraźmy sobie, że $100$‍ osób wykonuje takie doświadczenie losowe i rzuca dwukrotnie monetą. Przeciętnie $50$‍ osób uzyska orła w pierwszym rzucie, a spośród nich $25$‍ wyrzuci orła ponownie. Tak więc $25$‍ osób z wyjściowych $100$‍, a więc $1/4$‍ wszystkich osób, uzyska dwa orły z rzędu.

Liczba osób na wyjściu nie gra roli. Teoretycznie $1/2$‍ pierwotnej grupy powinna uzyskać orła, a spośród nich $1/2$‍ wyrzuci orła także za drugim razem. Aby wyliczyć ułamek z ułamka, wykonujemy mnożenie.

Możemy zilustrować tę ideę za pomocą drzewa takiego jak to poniżej:

Wymnażając prawdopodobieństwa znajdujące się na kolejnych gałęziach znajdujemy łączne prawdopodobieństwo zajścia jednego zdarzenia ORAZ zajścia kolejnego zdarzenia.

Na przykład prawdopodobieństwo uzyskania dwóch reszek z rzędu wynosić będzie:

Przypuśćmy, że mamy wykonać dwukrotnie rzut symetryczną kostką sześcienną.

Podobne podejście możemy zastosować mając do czynienia ze zdarzeniami zależnymi.

Rozważmy losowanie dwóch kart bez zwracania ze standardowej talii $52$‍ kart. Oznacza to, że wyciągamy jedną kartę, odkładamy ją na bok, a następnie losujemy kolejną.

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że obie wylosowane karty są czarne?

Połowa z $52$‍ kart jest czarna, a więc prawdopodobieństwo tego, że pierwsza karta będzie czarna wynosi $26/52$‍. Jednak prawdopodobieństwo uzyskania czarnej karty zmienia się w drugim ciągnięciu, ponieważ zarówno liczba czarnych kart, jak i liczba wszystkich kart zmniejszyły się o $1$‍.

A oto jak te prawdopodobieństwa prezentują w formie drzewa:

Tak więc prawdopodobieństwo tego, że obie karty będą czarne wynosi:

Na liście znajduje się $5$‍ uczniów: $3$‍ czwartoklasistów i $2$‍ trzecioklasistów. Nauczyciel zamierza wybrać $2$‍ losowe osoby z tej grupy, aby przedstawiły rozwiązanie pracy domowej.

Pionowa kreska w $P(\text{B}|\text{A})$‍ oznacza "pod warunkiem", a więc można odczytać to wyrażenie jako "prawdopodobieństwo zajścia B pod warunkiem, że zaszło A".

Ten wzór pokazuje, że możemy mnożyć prawdopodobieństwa dwóch zdarzeń, ale rozważając drugie z nich musimy wziąć pod uwagę także i pierwsze zdarzenie.

Jeśli zdarzenia są niezależne, zajście jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. W tym wypadku zachodzi więc: $P(\text{B}|\text{A})=P(\text{B})$‍.