Główna zawartość

Statystyka i prawdopodobieństwo

Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 9

Lekcja 5: Zmienne losowe dwuwartościowe

Dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa (podstawy)

Zadanie 1: Budowanie intuicji za pomocą rzutów wolnych

Stefania trafia

90 %

swoich rzutów wolnych. Zamierza rzucić

3

razy. Załóżmy, że wyniki poszczególnych rzutów są od siebie niezależne.

Chce wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo trafienia dokładnie $2$ ‍ z $3$ ‍ rzutów.

Rozbijmy to zadanie na mniejsze części.

zadanie A

Jeśli trafi $2$ ‍ razy, to znaczy to, że ile rzutów musi spudłować?

zadanie b

Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym trafi swoje pierwsze $2$ ‍ rzuty i spudłuje w trzecim.
Zaokrąglij swoją odpowiedź do setnego miejsca po przecinku, jeśli będzie to konieczne.

P (trafiony, trafiony, chybiony) =

zadanie c

"Trafiony, trafiony, chybiony" to nie jedyny sposób, w jaki Stefania może trafić

2

rzuty wolne w

3

próbach.

Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym trafi swój pierwszy rzut wolny, nie trafi w drugim i trafi w trzecim.
Zaokrąglij swoją odpowiedź do setnego miejsca po przecinku, jeśli będzie to konieczne.

P (trafiony, chybiony, trafiony) =

zadanie d

Stefania może też trafić

2

rzuty wolne w sposób "chybiony, trafiony, trafiony".

Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym nie trafi w pierwszym rzucie, i trafi w $2$ ‍ pozostałych.
Zaokrąglij swoją odpowiedź do setnego miejsca po przecinku, jeśli będzie to konieczne.

P (chybiony, trafiony, trafiony) =

zadanie E

Użyj wzoru na kombinacje, żeby sprawdzić, czy te $3$ ‍ sposoby przedstawiają wszystkie możliwe sposoby, w jakie możemy ułożyć $2$ ‍ trafienia w $3$ ‍ próbach.

_{n} C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

_{3} C_{2} =

sposobów

zadanie f

Teraz połącz to wszystko żeby znaleźć prawdopodobieństwo trafienia dokładnie $2$ ‍ z $3$ ‍ rzutów wolnych.
Zaokrąglij swoją odpowiedź do setnego miejsca po przecinku, jeśli będzie to konieczne.

P (trafia 2 z 3 rzutów wolnych) = P (S S P) + P (S P S) + P (P S S)

P (trafia 2 z 3 rzutów wolnych) =

Uogólnienie rozumowania z Zadania 1: wzór ogólny, który pozwoli w przyszłości rozwiązać podobne zadania

Jak widzieliśmy w zadaniu 1, różne kolejności zdarzeń niezależnych, które prowadzą do tego samego rezultatu, mają to samo prawdopodobieństwo.

Możemy zapisać wzór, który podsumowuje to rozumowanie. Wzór nosi nazwę rozkładu dwumianowego, lub rozkładu Bernoulliego:

Dany jest zbiór $(n)$ ‍prób,
każda próba może zakończyć się "sukcesem" lub "porażką",
prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $(p)$ ‍ i jest takie same w każdej próbie,
wyniki poszczególnych prób są od siebie niezależne.

A tak wygląda ogólny opis strategii przy obliczaniu rozkładu dwumianowego:

\begin{aligned} P (\overset{Dokładnie ustalona}{# sukcesów}) \\ = (\overset{# możliwych}{kombinacji}) \cdot {(\overset{prawdopodobieństwo}{sukcesu})}^{(\overset{#}{sukcesów})} \cdot {(\overset{prawdopodobieństwo}{porażki})}^{(\overset{#}{porażek})} \end{aligned}

Wróćmy na chwilę do zadania 1:

$n = 3$ ‍ rzuty osobiste,
każdy rzut jest "celny" (sukces) lub "pudło" (porażka),
prawdopodobieństwo celnego rzutu wynosi $p = 0, 90$ ‍,
zakładamy, że wszystkie trzy rzuty są zdarzeniami niezależnymi.

\begin{aligned} P (trafia 2 z 3 rzutów osobistych) & =_{3} C_{2} \cdot (0, 90)^{2} \cdot (0, 10)^{1} \\ = 3 \cdot 0, 81 \cdot 0, 10 \\ = 3 \cdot 0,081 \\ = 0,243 \end{aligned}

Ogólnie...

P (dokładnie k sukcesów) =_{n} C_{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Spróbuj rozwiązać inny problem tą samą metodą.

Zadanie 2

Łukasz, młodszy brat Stefanii, trafia z rzutów osobistych z prawdopodobieństwem równym

20 %

. Łukasz chce rzucać

4

osobiste pod rząd.

Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Łukasz trafi dokładnie $2$ ‍ razy w $4$ ‍ rzutach?

P (dokładnie 2 trafienia) =

Sprawdź, czy rozumiesz

Stefania obiecała kupić Łukaszowi lody, jeśli Łukasz trafi co najmniej

3

razy rzucając

4

rzuty osobiste.

Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Łukasz trafi co najmniej $3$ ‍ razy w $4$ ‍ rzutach?

P (co najmniej 3 trafień) =

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.