Rozkłady zmiennych losowych będących sumami lub różnicami zmiennych losowych o rozkładach normalnych

Okazuje się, że rozkład zmiennej losowej, która jest sumą lub różnicą kilku niezależnych zmiennych losowych mających rozkład normalny, jest także rozkładem normalnym. Okazuje się, że parametry rozkładu tej zmiennej losowej w prosty sposób wiążą się z parametrami rozkładów zmiennych składowych.

W pewnej fabryce cukierków każda torebka z cukierkami napełniana jest przez $4$4 maszyny. Pierwsza maszyna napełnia torbę niebieskimi cukierkami, druga zielonymi, trzecia czerwonymi, a czwarta żółtymi cukierkami. Liczba cukierków, którymi każda maszyna napełnia daną torebkę, ma rozkład normalny z wartością średnią równą $50\,\text{g}$50, start text, g, end text i odchyleniem standardowym wynoszącym $5\,\text{g}$5, start text, g, end text. Maszyny działają niezależnie od siebie, tak że ilości cukierków wychodzących z różnych maszyn można uznać za niezależne zmienne losowe..

Niech $T$T równą całkowitej masie cukierków w napełnionej torebce.

Zastanówmy się nad rozwiązaniem tego zadania krok po kroku.

Adam i Marek lubią razem grać w kręgle. Rozkład punktów zdobytych w kolejnych grach przez Adama jest bliski rozkładowi normalnemu z wartością średnią równą $175$175 punktów i odchyleniem standardowym wynoszącym $30$30 punktów. Rozkład punktów zdobytych przez Marka jest bliski rozkładowi normalnemu z wartością średnią wynoszącą $150$150 punktów i odchyleniem standardowym równym $40$40 punktów. Punkty, zdobyte w kolejnych grach przez Adama i Marka, można traktować jako niezależne zmienne losowe..

Niech $A$A bęðzie zmienną losową równą liczbie punktów, zdobytych przez Adama w losowo wybranej grze i niech $M$M będzie zmienną losową równą liczbie punktów zdobytych przez Marka w losowo wybranej grze. Zdefiniujmy zmienną losową $R$R jako różnicę liczby punktów uzyskanych przez Adama i Marka, $R=A-M$R, equals, A, minus, M.

Zastanówmy się nad rozwiązaniem tego zadania krok po kroku.