Główna zawartość
Statystyka i prawdopodobieństwo
Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 9
Lekcja 8: Więcej o wartości oczekiwanej- Ubezpieczenie na życie i prawdopodobieństwo śmierci - film z polskimi napisami
- Wartość oczekiwana inwestycji w los na loterii - film z polskimi napisami
- Wartość oczekiwana na rybach - film z polskimi napisami
- Wartość oczekiwana na podstawie prawdopodobieństw zdarzeń wyznaczonych z danych
- Wartość oczekiwana na podstawie obliczonych prawdopodobieństw zdarzeń
- Podejmowanie decyzji na podstawie wartości oczekiwanej
- Prawo wielkich liczb
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Wartość oczekiwana inwestycji w los na loterii - film z polskimi napisami
Obliczamy wartość oczekiwaną zwrotu z zakupu losu na loterii, mnożąc prawdopodobieństwo zdarzenia przez wartość odpowiadającej nagrody i sumując wyniki. Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
Ahmed gra w grę losową, w której musi wybrać 2 cyfry
z przedziału od 0 do 9 oraz jedną literę z 26 liter
alfabetu łacińskiego. Może wybrać 2 razy tę samą liczbę. Jeśli wybrał odpowiednią kombinację
w odpowiedniej kolejności to wygrywa główną nagrodę, i otrzymuje 10,405$. Jeśli tylko literę wylosował odpowiednią, ale jedna lub obie cyfry się nie zgadzają, to wygrywa zaledwie 100$. W każdym innym wypadku przegrywa
i nic nie dostaje. Wzięcie udziału w grze
kosztuje go 5$. Ahmed wybrał los z kombinacją 04R. Zakładamy że zapłacił 5 dolarów za udział. Zdefiniujmy zmienną losową X, jako zysk Ahmeda z gry. Zastanowimy się, ile wynosi wartość oczekiwana zmiennej X. W zasadzie w tym konkretnym przypadku zastanawiamy się nad wartością oczekiwaną
z wyboru losu 04R. Interesuje nas w końcu konkretnie los Ahmeda. Czyli powiedzmy że X to zmienna losowa opisująca zysk z wylosowania
w tej grze 04R. W tym filmiku zastanowimy się
jaka jest wartość oczekiwana czegoś takiego. Jaki jest oczekiwany zysk z takiego losu? Zachęcam żeby spauzować filmik,
i zastanowić się samemu. Przypomnijmy sobie co to
wartość oczekiwana. Jest to suma prawdopodobieństw
każdego przypadku, pomnożona przez wartość X
w danym przypadku. Czyli tutaj prawdopodobieństwo
głównej wygranej, które zapiszemy czerwonym kolorem, pomnożone przez zysk z nagrody. Czyli ile? Cóż, wygrywa 10,405$, ale nie jest to jego zysk, bo zapłacił 5$ za los. Czyli zysk to 10,405$ - 5$ = 10,400$. Kolejny przypadek to prawdopodobieństwo mniejszej wygranej, pomnożonej przez zysk,
tutaj równy 100$ - 5$ = 95$. Wreszcie jest prawdopodobieństwo przypadku w którym Ahmed nic nie wygra, pomnożone przez "zysk" -5$, które musi zapłacić za udział. Czyli żeby policzyć wartość oczekiwaną, musimy policzyć te prawdopodobieństwa. Wpierw zastanówmy się jaka
jest szansa na główną nagrodę. Cóż, szansa że odgadnie pierwszą cyfrę jest 1/10, bo jest 10 różnych cyfr. Tak samo dla drugiej cyfry, szansa 1/10. A szansa na odgadnięcie litery to 1/26. Czyli szansa na główną nagrodę to 1/2600. Zapiszmy tutaj wynik, 1/2600. Teraz jaka jest szansa na wygranie
nagrody pocieszenia? Prawdopodobieństwo małej nagrody, pomyślmy, mała nagroda to
odgadnięcie litery, ale zły wybór którejś z cyfr. Ma szansę 1/26 na odgadnięcie litery, ale to nie wszystko, bo sama szansa 1/26 dotyczy wszystkich
przypadków w których zgadnął literę, włącznie z tym w którym wygrywa główną
nagrodę, czyli zgaduje i literę i cyfry. Żeby to uwzględnić musimy odjąć prawdopodobieństwo że dobrze
wylosuje obie cyfry i literę. Wiemy już ile to wynosi: 1/2600. Czyli tu piszemy 1/26 - 1/2600. Jeszcze raz: odejmuję 1/2600 ponieważ szansa 1/26 obejmuje wszystkie
przypadki odgadnięcia dobrze litery, a jednym z tych przypadków jest
odgadnięcie dobrze wszystkich znaków. No ale mała nagroda dotyczy przypadku
w którym odgadliśmy literę, ale nie obie cyfry, bo wtedy
dostaje się główną nagrodę. Dlatego musimy odjąć
prawdopodobieństwo głównej nagrody, czyli prawdopodobieństwo zgadnięcia
wszystkich znaków. Pozostaje policzyć
szansę na przegraną. Czyli szansa na to że
nie wygramy żadnej z nagród. Cóż, to po prostu szansa że
nie wydarzą się pozostałe przypadki, czyli musimy odjąć od 1
policzone prawdopodobieństwa. Czyli odejmujemy od 1 szansę
na małą nagrodę, i szansę na główną nagrodę. Wiemy że te 3 przypadki to wszystkie
możliwe zdarzenia, więc ich prawdopodobieństwa
muszą sumować się do 1. Wróćmy do wzoru na
wartość oczekiwaną. To wyrażenie to 1/26 - 1/2600. A tutaj mamy 1 - (1/26 - 1/2600) - 1/2600. To wyrażenie możemy jeszcze
trochę uprościć, mianowicie 1/2600 się skróci
po opuszczeniu nawiasów. Zostaje nam 1 - 1/26. Ten wynik wydaje się bardzo sensowny, bo żeby przegrać musimy źle wylosować literę. Ponieważ na literę mamy szansę 1/26, to 1 - 1/26 to szansa że nic nie wygramy. Czyli 25/26 to szansa że źle zgadniemy literę i nic nie wygramy. Skorzystamy z kalkulatora żeby dokończyć obliczenia. Przy czym będziemy zaokrąglać
do 2 miejsc po przecinku. No to mamy: 1/2600 pomnożone przez 10,400, bo taki jest zysk z głównej nagrody. Dalej mamy: 1/26 - 1/2600 pomnożone przez 95, czyli zysk
z nagrody pocieszenia. Wreszcie mamy jeszcze 25/26 pomnożone przez -5 które tracimy gdy
nic nie wygramy. I uwaga uwaga, dostajemy wartość
oczekiwaną równą: Całe 2 dolary i 81 centów! Przynajmniej po zaokrągleniu. Zapiszmy zatem, całe to wyrażenie jest równe 2.81$. Wygląda na to że to wyjątkowa loteria, w której spodziewamy się że
wyjdziemy na plus. Przeważnie to organizatorzy loterii
zarabiają pieniądze, a nie gracze. W tym przypadku racjonalnym
wyborem byłoby wzięcie udziału, mimo że w prawdziwym życiu
prawie nigdy tak nie jest. W tej loterii spodziewamy się
zarobić 2.81$,