If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Proces Poissona 2

Więcej o wyprowadzeniu Rozkładu Poissona. Stworzone przez: Sal Khan.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Transkrypcja filmu video

Mamy już wszystkie narzędzia niezbędne do dalszego rozumowania. Więc w ramach przypomnienia tego, co się stało ostatnio, staramy się zamodelować rozkład prawdopodobieństwa tego, ile samochodów nas minie w ciągu godziny. Więc najpierw siedzieliśmy na krawężniku i znaleźliśmy wartość oczekiwaną naszej zmiennej losowej. Zaś tą zmienną, wróćmy do początku, zdefiniowaliśmy jako liczbę aut mijających pewien punkt na ulicy w ciągu godziny. Siedzieliśmy kilka godzin przy ulicy i uzyskaliśmy dobre przybliżenie tego. Nazwaliśmy je lambda. Zdecydowaliśmy się modelować nasz eksperyment rozkładem dwumianowym. Więc przy tym założeniu lambda jest równa (ilości prób) * (prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie). jest równa (ilości prób) * (prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie). Naszą próbą jest zaś jakiś fragment czasu. To jest łączna liczba sukcesów w ciągu godziny. To jest sukces w pewnym małym okresie czasu. A to jest prawdopodobieństwo sukcesu w tym małym okresie czasu. Więc w poprzednim filmie założyliśmy, że naszym małym okresem czasu jest minuta, a to jest prawdopodobieństwo sukcesu w danej minucie. Dostaliśmy potencjalnie dobre przybliżenie naszego modelu. Ale co by się stało, gdyby więcej niż jeden samochód przejechał koło nas w ciągu minuty? Więc zmieniliśmy okres czasu na sekundę, a to się stało prawdopodobieństwem sukcesu w danej sekundzie. Ale przecież nie możemy wykluczyć, że więcej niż jedno auto minie nas w ciągu sekundy. Postanowiliśmy więc przejść z n do nieskończoności i zobaczyć, co z tego wyniknie. Biorąc rozkład dwumianowy i zbiegając do nieskończoności, moglibyśmy powiedzieć, że prawdopodobieństwo, że x jest równe jakiejś liczbie k, czyli na przykład 3 samochodom w danej godzinie, dokładnie 3 samochodom w godzinę, to granica przy n dążącym do nieskończoności granica przy n dążącym do nieskończoności z n nad k, czyli k razy odniesiemy sukces, bo n dąży do nieskończoności, czyli nasze okresiki czasu są super małe, więc to się staje momentem w czasie. Będziemy mieć nieskończenie wiele momentów, zaś to jest liczba tych dających sukces, czyli minęło nas auto. Na przykład sukces odnieśliśmy w 3 momentach i minęły nas 3 auta. Albo 7 samochodów, 7 razy odnieśliśmy sukces, czyli 7 razy minęło nas auto. Wracając do naszego rozkładu dwumianowego, mamy n momentów, k sukcesów i to mnożymy przez prawdopodobieństwo sukcesu. Jakie było prawdopodobieństwo sukcesu? ... Czemu jest równe p? p = lambda / n. Bo n * p = lambda. Więc zapiszmy, że p = lambda / n. Więc zapiszmy, że p = lambda / n. To natychmiastowy wniosek z tego. Więc prawdopodobieństwo sukcesu to lambda / n. A jakie jest prawdopodobieństwo osiągnięcia k sukcesów? A prawdopodobieństwo poniesienia porażki? To drugie to 1 minus prawdopodobieństwo sukcesu. A ile razy trafimy porażkę? Czyli w ilu momentach nie minie nas samochód? Mamy łącznie n prób i k razy trafiliśmy sukces, więc dostajemy ( n - k ) porażek. Posuwamy się do przodu. To jest równe, zapiszmy to niżej innym kolorem, granicy przy n dążącym do nieskończoności z naszego prawdopodobieństwa. Czyli n! dzielone przez ( n - k )! * k!. Normalnie zapisuje to na odwrót, ale mnożenie jest przemienne. To razy lambda ^ k, korzystając z własności funkcji wykładniczej, dzielone przez n ^ k. Zaś te wyrażenie mogę rozpisać na dwa. Zaś te wyrażenie mogę rozpisać na dwa. Czyli ( 1 - lambda / n ) ^ n razy ( 1 - lambda / n ) ^ ( -k ). Mamy tę samą podstawę, więc moglibyśmy dodać wykładniki i wrócić do tej postaci. Uprośćmy to jeszcze trochę. Możemy zamienić te dwa wyrażenia miejscami. Możemy to zapisać jako jeden ułamek. Możemy tutaj spokojnie zmieniać kolejność mnożenia. Możemy tutaj spokojnie zmieniać kolejność mnożenia. Więc to jest równe, zmieńmy kolor, granicy przy n dążącym do nieskończoności... granicy przy n dążącym do nieskończoności... W sumie zapiszmy to w postaci uzyskanej w poprzednim filmie. Jak możemy to inaczej zapisać? Tak ja pokazaliśmy poprzednio, n! / ( n - k )! jest równe n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) * . . . * ( n - k + 1 ). jest równe n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) * . . . * ( n - k + 1 ). Na przykład 7! / ( 7 - 2 )! daje 7 * 6, gdzie 6 = ( 7 - 2 + 1 ). Stąd ten zapis. Jeżeli się gubicie, możecie się cofnąć do poprzedniego filmu. Zauważyliśmy również, że tutaj jest dokładnie k czynników. Więc gdybyśmy je liczyli, 1, 2, 3, ... to skończylibyśmy na k. To już mamy. To już mamy. A te dwie liczby chciałem zamienić miejscami, więc dzielimy przez n ^ k i mnożymy przez lambda ^ k / k!. dzielimy przez n ^ k i mnożymy przez lambda ^ k / k!. A to możemy po prostu przepisać. A to możemy po prostu przepisać. Dokończę w następnej linijce. ( 1 - lambda / n ) ^ n * ( 1 - lambda / n ) ^ ( -k ). ( 1 - lambda / n ) ^ n * ( 1 - lambda / n ) ^ ( -k ). Możemy teraz zbadać granicę. Więc co się stanie, kiedy n ucieknie do nieskończoności? Może zrobię małą dygresję, żebyście się na pewno nie pogubili. Jeżeli wezmę granicę przy x dążącym do a z f(x) * g(x), Jeżeli wezmę granicę przy x dążącym do a z f(x) * g(x), to jest ona równa granicy przy x dążącym do a funkcji f(x) razy granica przy x dążącym do a funkcji g(x). Wykorzystajmy tutaj tę własność, patrząc na naszą funkcję. Wykorzystajmy tutaj tę własność, patrząc na naszą funkcję. Wykorzystajmy tutaj tę własność, patrząc na naszą funkcję. Wykorzystajmy tutaj tę własność, patrząc na naszą funkcję. Więc jaka będzie granica po tym? Zapiszmy to niżej, może na żółto. Więc kiedy n dąży do nieskończoności, to iloczyn n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) * . . . * ( n - k + 1 ) to iloczyn n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) * . . . * ( n - k + 1 ) jest tak naprawdę wielomianem. jest tak naprawdę wielomianem. Wystarczy pomnożyć te k jednomianów. wystarczy pomnożyć te k jednomianów. Najwyższym wykładnikiem n jest oczywiście k. Więc dostajemy n ^ k plus coś niższego rzędu. Więc dostajemy n ^ k plus coś niższego rzędu. Czyli wielomian stopnia k. Czyli wielomian stopnia k. I ta wiedza nam wystarczy, by policzyć tę granicę. Więc mamy n ^ k plus coś nieważnego z punktu widzenia granicy. Więc mamy n ^ k plus coś nieważnego przy wzięciu granicy. To wszystko dzielimy przez n ^ k. Czyli załatwiliśmy już tę część. I mnożymy to przez granicę z... W sumie to jest stała. W sumie to jest stała. Więc nie musimy z tym przechodzić do granicy. Razy lambda ^ k / k!. Nie ma tu żadnego n, więc z punktu widzenia zmiennej n jest to stała. Razy granica przy n dążącym do nieskończoności z ( 1 - lambda / n ) ^ n * ( 1 - lambda / n ) ^ ( -k ). Wiem, że trochę ciężko to rozczytać. Więc jaka będzie ta granica? Jak jest granica wielomianu, gdy n dąży do nieskończoności, gdzie wielomian jest rzędu k, bo to wszystko jest w niższych potęgach, czyli to jest w najwyższej potędze, mamy n ^ k w liczniku i mamy n ^ k w mianowniku? mamy n ^ k w liczniku i mamy n ^ k w mianowniku? Czyli najwyższe potęgi są takie same. Przy każdej stoi jedynka, więc nasza granicą będzie 1. Można to też pokazać dzieląc licznik i mianownik przez n ^ k. Można to też pokazać dzieląc licznik i mianownik przez n ^ k. Tu byśmy dostali 1 plus 1 / n plus coś jeszcze mniejszego, a tu dostalibyśmy 1. I teraz przechodząc z granicą do nieskończoności, to wszystko zbiegnie do zera i zostaniemy z 1 / 1. Tak czy inaczej, mamy ten sam rząd wielkości na górze i na dole, przy najwyższych potęgach stoją jedynki, więc gdy n dąży to nieskończoności to się staje jedynką. więc gdy n dąży to nieskończoności to się staje jedynką. Więc zostaliśmy z iloczynem 1 * ( lambda ^ k / k! ). A jaka jest granica tego przy n dążącym do nieskończoności? A jaka jest granica tego przy n dążącym do nieskończoności? ( 1 - lambda / n ) ^ n ? W poprzedniej części pokazaliśmy że to da, zapiszę wzorek tutaj: granica przy n dążącym do nieskończoności z ( 1 + a / n ) ^ n wynosi e ^ a. Tutaj mamy zupełnie to samo, wystarczy za a podstawić minus lambdę. Więc to nam da e ^ ( - lambda ). Wstawiliśmy minus lambdę za a. A jaka będzie granica z tego? Przepiszmy to bardziej czytelnie. Przepiszmy to bardziej czytelnie. ( 1 - lambda / n ) ^ ( -k ). Co się stanie gdy n zbiegnie do nieskończoności? lambda jest stałą, więc kiedy to zbiegnie do nieskończoności, to zbiegnie do 0. Więc zostaje 1 ^ ( -k ). 1 do dowolnej potęgi daje 1, więc to daje po prostu 1. Więc dostaliśmy kolejną jedynkę. To by było na tyle. Skończyliśmy. Prawdopodobieństwo że nasza zmienna losowa, ilość samochodów mijających nas w ciągu godziny, jest równa k, na przykład 7 samochodów w ciągu godziny, to inaczej granica przy n dążącym do nieskończoności z n nad k razy ( lambda / n ) do k sukcesów, razy ( 1 - lambda / n ) do ( n - k ) porażek. razy ( 1 - lambda / n ) do ( n - k ) porażek. To zaś jest równe lambda ^ k / k! * e ^ ( -lambda ). To zaś jest równe lambda ^ k / k! * e ^ ( -lambda ). Więc dostaliśmy dość ciekawy wynik, który pozwala nam zrozumieć nieoczywistą zależność tego z rozkładem dwumianowym. Mamy tu e, mamy silnię, choć silnia występuje dość często, to raczej by nas nie naprowadziła na rozkład dwumianowy. A to jest po prostu granica przy coraz drobniejszym podziale czasu i liczeniu liczby sukcesów w pojedynczych momentach. Kiedy n już zbiegnie do nieskończoności wyskakuje nam e. I jeżeli by się nad tym zastanowić, to to ma sens, bo liczbę e wyprowadzaliśmy w dość podobny sposób. liczbę e wyprowadzaliśmy w dość podobny sposób. Braliśmy coraz drobniejszy podział a na n części, a potem podnieśliśmy wszystko do entej potęgi a potem podnieśliśmy wszystko do entej potęgi dostając w granicy liczbę e. W sumie stąd wziął się ten wzorek. W każdym razie, żeby zobaczyć jak to się stosuje, powiedzmy, że jestem tym technikiem drogownictwa i wyszło mi, że w ciągu godziny mija mnie średnio 9 samochodów. I chcę policzyć prawdopodobieństwo... To jest moja wartość oczekiwana, w ciągu danej godziny średnio przejeżdża 9 samochodów. Ja chcę znać prawdopodobieństwo zdarzenia, że miną mnie 2 samochody w ciągu danej godziny. Dokładnie 2 samochody. To będzie równe 9 (samochodów na godzinę) do potęgi 2, czyli do kwadratu, dzielone przez 2! i to wszystko razy e ^ ( -9 ). Czyli dostaliśmy 81 / 2 * e ^ ( -9 ). I może powinienem to policzyć na kalkulatorze... I może powinienem to policzyć na kalkulatorze... W sumie zostawię wam to jako ćwiczenie. Do zobaczenia następnym razem.