Obserwacje odstające i reguła 1,5xIQR

Element odstający albo obserwacja odstająca w zbiorze danych to punkt, który leży z dala od innych punktów, nie pasując do pozostałych.

Poniższy rozkład opisuje liczbę punktów zdobytych w teście na prawo jazdy przez $19$‍ zdających. Ile elementów odstających widzisz na tym wykresie?

Ktoś mógłby powiedzieć, że widzi w tym rozkładzie $5$‍ elementów odstających, ktoś inny by się z tym nie zgodził i powiedział, że widzi tu tylko $3$‍ albo $4$‍ punkty odstające. Dlatego statystycy umówili się, co do prostej zasady, która pozwala od razu rozstrzygnąć ten spór.

Popularna zasada głosi, że dana obserwacja jest punktem odstającym jeśli leży o co najmniej $1,5\cdot \text{IQR}$‍ (IQR = odstęp ćwiartkowy) powyżej trzeciego kwartyla, lub poniżej pierwszego kwartyla. Inaczej mówiąc, obserwacje odstające z dołu to te, które leżą poniżej ${\text{Q}}_1-1,5\cdot \text{IQR}$‍, a obserwacje odstające z góry to te, które leżą powyżej ${\text{Q}}_3+1,5\cdot \text{IQR}$‍.

Zobaczmy jak to działa w przypadku rozkładu, zaproponowanego powyżej.

Uporządkowana lista wszystkich $19$‍ wyników wygląda następująco:

$5$‍, $7$‍, $10$‍, $15$‍, $19$‍, $21$‍, $21$‍, $22$‍, $22$‍, $23$‍, $23$‍, $23$‍, $23$‍, $23$‍, $24$‍, $24$‍, $24$‍, $24$‍, $25$‍

Na wykresach pudełkowych z wąsami często zaznacza się obserwacje odstające jako punkty oddzielone od reszty wykresu.

Przykład wykresu pudełkowego z wąsami, na którym nie zaznaczono obserwacji odstających:

Przykład wykresu pudełkowego z wąsami, na którym zaznaczono obserwacje odstające:

Zauważ, że w drugim przypadku obserwacje odstające zaznaczone są jako punkty i że wąsy są krótsze, niż w pierwszym przypadku. Wąsy sięgają do najdalszej obserwacji, która jeszcze nie jest obserwacją odstającą, w tym przypadku do $15$‍.

Dla przypomnienia, tak wygląda oryginalny rozkład.