Średnia jako punkt równowagi

Wiesz już jak obliczyć średnią, dodając do siebie wszystkie dane i dzieląc przez ich liczbę. W tym artykule zastanowimy się nad interpretacją średniej jako punktu równowagi. Zaczynamy!

Ciekawe! W pierwszych dwóch zadaniach dane były "w równowadze" wokół liczby sześć. Spróbuj rozwiązać następne zadanie nie dodając do siebie wartości i nie dzieląc przez liczbę punktów. Zamiast tego, zastanów się gdzie leży punkt równowagi tych danych.

Zauważ, jak $1$1 i $5$5 są "w równowadze" po przeciwnych stronach $3$3:

Czy widzisz już jak dane są zawsze w równowadze wokół średniej? Spróbujmy zastanowić się nad kolejnymi zadaniami!

Zauważyliście pewnie w części 1 że w przypadku niezbyt licznych zbiorów danych można wyznaczyć wartość średnią bez obliczania sumy i dzielenia przez liczbę obserwacji.

Kluczowy pomysł: możemy myśleć o wartości średniej jako o punkcie równowagi zbioru danych , co jest nieco ekstrawaganckim sposobem powiedzenia, że średnia to taki punkt na osi liczbowej, dla którego suma odległości od punktów leżących powyżej jest równa sumie odległości od punktów leżących poniżej. Można to wyrazić jeszcze inaczej: gdyby początek osi liczbowej przenieść w miejsce, gdzie znajduje się średnia, to wartość średnia byłaby równa zero.

W częśći 1, przekonaliśmy się, że wartość średnia zbioru $\{2,3, 5, 6\}$left brace, 2, comma, 3, comma, 5, comma, 6, right brace wynosi $\goldD4$start color #e07d10, 4, end color #e07d10. Łatwo się przekonać, że rzeczywiście suma odległości punktu średniej od punktów danych leżących poniżej średniej jest równa sumie odległości od punktów leżących powyżej średniej: $\redD{1} + \redD{2} = \greenD{1} + \greenD{2}$start color #e84d39, 1, end color #e84d39, plus, start color #e84d39, 2, end color #e84d39, equals, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, 2, end color #1fab54:

Tak! Jest to związane z tą tajemniczą obserwacją, którą uczyniliśmy powyżej, a mianowicie, że gdyby przenieść początek osi liczbowej do punktu średniej, to średnia wyniosłaby zero. Średnia jest zawsze punktem równowagi zbioru danych, tylko czasem można to od razu zobaczyć, a czasem trzeba się zastanowić.

Rozważmy na przykład zbiór $\{2, 3, 6, 9\}$left brace, 2, comma, 3, comma, 6, comma, 9, right brace.

Wartość średnią obliczymy w ten sposób:

I rzeczywiście, suma odległości punktu średniej od punktów danych leżących poniżej średniej jest równa sumie odległości od punktów leżących powyżej średniej, ponieważ $\redD{2} + \redD{3} = \greenD{1} + \greenD{4}$start color #e84d39, 2, end color #e84d39, plus, start color #e84d39, 3, end color #e84d39, equals, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54:

Wartość średnia zbioru składającego się z czterech punktów danych wynosi $5$5. Trzy spośród tych czterech punktów i wartość średnią zaznaczono na rysunku poniżej.