Główna zawartość
Statystyka i prawdopodobieństwo
Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 3
Lekcja 4: Wariancja i odchylenie standardowe w populacji- Miary rozrzutu danych: zakres, wariancja i odchylenie standardowe
- Wariancja populacji
- Odchylenie standardowe populacji
- Pojęcie rozproszenia i odchylenie standardowe
- Obliczanie odchylenia standardowego krok po kroku
- Odchylenie standardowe dla populacji
- Sprawdzenie zrozumienia: Odchylenie standardowe
- Statystyka: Alternatywne wzory na wariancję - film z polskimi napisami
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Obliczanie odchylenia standardowego krok po kroku
Wprowadzenie
W tym artykule nauczymy się, jak obliczyć odchylenie standardowe "ręcznie", albo "na piechotę".
Co ciekawe, w rzeczywistości żaden statystyk nie liczyłby odchylenia standardowego ręcznie. Potrzebne obliczenia są jednak nieco skomplikowane, a ryzyko popełnienia błędu jest duże. Ręczne liczenie trwa również długo. Bardzo długo. Dlatego właśnie statystycy polegają na arkuszach kalkulacyjnych i programach komputerowych do radzenia sobie z danymi.
Jaki jest więc cel tego artykułu? Dlaczego poświęcamy czas, żeby nauczyć się czego, czego statystycy właściwe nie używają? Odpowiedź jest prosta: uczenie się wykonywania ręcznych obliczeń pozwoli nam zrozumieć działanie odchylenia standardowego od środka. I to zrozumienie jest wartościowe. Zamiast patrzeć na odchylenie standardowe jak na jakąś magiczną liczbę, którą daje nam arkusz kalkulacyjny lub program, będziemy mogli wyjaśnić, skąd się ta liczba wzięła.
Przegląd obliczania odchylenia standardowego
Wzór na odchylenie standardowe (σ) to
gdzie sum oznacza "sumę z", x jest wartością w zbiorze danych, mu jest średnią zbioru danych, a N jest liczbą elementów w zbiorze danych w całej populacji.
Wzór na odchylenie standardowe może wyglądać skomplikowanie, jednak ma sens kiedy rozbijemy go na kawałki. W następnych częściach przejdziemy krok po kroku przez interaktywny przykład. Oto krótki podgląd kroków, które będziemy wykonywać:
Krok 1: Znajdź średnią.
Krok 2: Dla każdego elementu zbioru, znajdź kwadrat jego odległości od średniej.
Krok 3: Zsumuj wartości z kroku 2.
Krok 4: Podziel wynik kroku 3 przez liczbę obserwacji.
Krok 5: Wyciągnij z wyniku kroku 4 pierwiastek kwadratowy.
Ważna uwaga
Powyższy wzór dotyczy odchylenia standardowego danych na temat całej populacji. Jeśli zamiast całej populacji mamy do czynienia z próbką, podzbiorem danych dotyczących populacji, do oszacowania na tej podstawie odchylenia standardowego w populacji należy użyć innego wzoru (poniżej), w którym N zastąpiono przez n, minus, 1. W tym artykule skupiamy się na kolejnych krokach prowadzących do obliczenia odchylenia standardowego, które właściwie są takie same, niezależnie od tego czy mamy do czynienia z całą populacją, czy z próbką.
Interaktywny przykład krok po kroku - obliczanie odchylenia standardowego
Potrzebujemy zbioru danych, na których moglibyśmy pracować. Wybierzmy jakiś mały, żebyśmy nie musieli wykonywać zbyt dużo pracy. Ten będzie dobry:
Krok 1: obliczenie start color #e07d10, mu, end color #e07d10 w square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
W tym kroku obliczymy wartość średnią zbioru danych, która jest opisana przez zmienną mu.
Krok 2: obliczenie start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 w square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root
W tym kroku chcemy znaleźć odległość każdej obserwacji od średniej (czyli odchylenia) i podnieść każdą taką odległość do kwadratu.
Na przykład pierwszą wartością jest 6, a średnia wynosi 3, więc odległość pomiędzy nimi wynosi 3. Ta odległość poniesiona do kwadratu daje nam 9.
Krok 3: obliczenie start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 w square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root
Symbol sum oznacza "sumę", więc w tym kroku musimy dodać cztery wartości, które obliczyliśmy w kroku 2.
Krok 4: obliczenie start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, N, end fraction, end color #e07d10 w square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root
W tym kroku dzielimy wynik z kroku 3 przez zmienną N, czyli liczbę obserwacji.
Krok 5: obliczenie odchylenia standardowego square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Już prawie skończyliśmy! Wyciągniemy tylko pierwiastek kwadratowy z liczby z kroku 4 i koniec.
Tak! Dokonaliśmy tego! Obliczyliśmy odchylenie standardowe małego zbioru danych.
Podsumowanie naszych działań
Rozbiliśmy wzór na pięć kroków:
Krok 1: oblicz średnią mu.
Krok 2: oblicz kwadraty odległości każdej obserwacji od średniej open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
x | open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared | |
---|---|---|
6 | open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9 | |
2 | open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1 | |
3 | open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0 | |
1 | open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4 |
Kroki 3, 4, oraz 5:
A teraz spróbuj sam
Wzór dla przypomnienia:
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji