Główna zawartość

Statystyka i prawdopodobieństwo

Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 3

Lekcja 4: Wariancja i odchylenie standardowe w populacji

Obliczanie odchylenia standardowego krok po kroku

Wprowadzenie

W tym artykule nauczymy się, jak obliczyć odchylenie standardowe "ręcznie", albo "na piechotę".

Co ciekawe, w rzeczywistości żaden statystyk nie liczyłby odchylenia standardowego ręcznie. Potrzebne obliczenia są jednak nieco skomplikowane, a ryzyko popełnienia błędu jest duże. Ręczne liczenie trwa również długo. Bardzo długo. Dlatego właśnie statystycy polegają na arkuszach kalkulacyjnych i programach komputerowych do radzenia sobie z danymi.

Jaki jest więc cel tego artykułu? Dlaczego poświęcamy czas, żeby nauczyć się czego, czego statystycy właściwe nie używają? Odpowiedź jest prosta: uczenie się wykonywania ręcznych obliczeń pozwoli nam zrozumieć działanie odchylenia standardowego od środka. I to zrozumienie jest wartościowe. Zamiast patrzeć na odchylenie standardowe jak na jakąś magiczną liczbę, którą daje nam arkusz kalkulacyjny lub program, będziemy mogli wyjaśnić, skąd się ta liczba wzięła.

Przegląd obliczania odchylenia standardowego

Wzór na odchylenie standardowe (σ) to

start text, σ, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

gdzie sum oznacza "sumę z", x jest wartością w zbiorze danych, mu jest średnią zbioru danych, a N jest liczbą elementów w zbiorze danych w całej populacji.

Wzór na odchylenie standardowe może wyglądać skomplikowanie, jednak ma sens kiedy rozbijemy go na kawałki. W następnych częściach przejdziemy krok po kroku przez interaktywny przykład. Oto krótki podgląd kroków, które będziemy wykonywać:

Krok 1: Znajdź średnią.

Krok 2: Dla każdego elementu zbioru, znajdź kwadrat jego odległości od średniej.

Krok 3: Zsumuj wartości z kroku 2.

Krok 4: Podziel wynik kroku 3 przez liczbę obserwacji.

Krok 5: Wyciągnij z wyniku kroku 4 pierwiastek kwadratowy.

Ważna uwaga

Powyższy wzór dotyczy odchylenia standardowego danych na temat całej populacji. Jeśli zamiast całej populacji mamy do czynienia z próbką, podzbiorem danych dotyczących populacji, do oszacowania na tej podstawie odchylenia standardowego w populacji należy użyć innego wzoru (poniżej), w którym N zastąpiono przez n, minus, 1. W tym artykule skupiamy się na kolejnych krokach prowadzących do obliczenia odchylenia standardowego, które właściwie są takie same, niezależnie od tego czy mamy do czynienia z całą populacją, czy z próbką.

start text, σ, end text, start subscript, start text, p, r, o, with, \', on top, b, k, a, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

[Dlaczego te dwa wzory się różnią?]

Interaktywny przykład krok po kroku - obliczanie odchylenia standardowego

Potrzebujemy zbioru danych, na których moglibyśmy pracować. Wybierzmy jakiś mały, żebyśmy nie musieli wykonywać zbyt dużo pracy. Ten będzie dobry:

6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

Krok 1: obliczenie start color #e07d10, mu, end color #e07d10 w square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

W tym kroku obliczymy wartość średnią zbioru danych, która jest opisana przez zmienną mu.

Wypełnij puste pole.

mu, equals

[Wyjaśnij, o co chodzi]

Krok 2: obliczenie start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 w square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

W tym kroku chcemy znaleźć odległość każdej obserwacji od średniej (czyli odchylenia) i podnieść każdą taką odległość do kwadratu.

Na przykład pierwszą wartością jest 6, a średnia wynosi 3, więc odległość pomiędzy nimi wynosi 3. Ta odległość poniesiona do kwadratu daje nam 9.

Dokończ poniższą tabelę.

Element x	Podniesiona do kwadratu odległość od średniej open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6	9
2	Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak 6 właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5 niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4 liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4 dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75 wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
3	Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak 6 właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5 niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4 liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4 dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75 wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
1	Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak 6 właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5 niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4 liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4 dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75 wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[Wyjaśnij, o co chodzi]

Krok 3: obliczenie start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 w square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

Symbol sum oznacza "sumę", więc w tym kroku musimy dodać cztery wartości, które obliczyliśmy w kroku 2.

Wypełnij puste pole.

sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, equals

[Wyjaśnij, o co chodzi]

Krok 4: obliczenie start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, n, N, end fraction, end color #e07d10 w square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root

W tym kroku dzielimy wynik z kroku 3 przez zmienną N, czyli liczbę obserwacji.

Wypełnij puste pole.

start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, equals

[Wyjaśnij, o co chodzi]

Krok 5: obliczenie odchylenia standardowego square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

Już prawie skończyliśmy! Wyciągniemy tylko pierwiastek kwadratowy z liczby z kroku 4 i koniec.

Wypełnij puste pole.
Zaokrąglij swoją odpowiedź do setnych.

start text, σ, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root, approximately equals

[Wyjaśnij, o co chodzi]

Tak! Dokonaliśmy tego! Obliczyliśmy odchylenie standardowe małego zbioru danych.

Podsumowanie naszych działań

Rozbiliśmy wzór na pięć kroków:

Krok 1: oblicz średnią mu.

mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd

Krok 2: oblicz kwadraty odległości każdej obserwacji od średniej open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.

x		open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6		open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2		open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3		open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1		open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4

Kroki 3, 4, oraz 5:

$\begin{aligned} \text{σ} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text{Zsumuj wszystkie kwadraty odległości (Krok 3).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3{,}5}} ~~~~~~~~\small \text{Podziel tą liczbę przez ilość danych (Krok 4).} \\\\\\\\ &\approx 1{,}87 ~~~~~~~~\small \text{Wyciągnij pierwiastek kwadratowy (Kok 5).} \end{aligned}$

A teraz spróbuj sam

Wzór dla przypomnienia:

start text, σ, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

A to zbiór danych:

1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6

Znajdź odchylenie standardowe tego zbioru danych
Zaokrąglij odpowiedź do części setnych.

start text, σ, end text, equals

[Wyjaśnij, o co chodzi]

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.