Główna zawartość

Statystyka i prawdopodobieństwo

Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 3

Lekcja 5: Wariancja i odchylenie standardowe próby

Przypomnienie wiadomości na temat odchylenia standardowego próby i populacji

Odchylenie standardowe populacji i próby

Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu danych. Mierzy typową odległość punktu danych od średniej.

Wzór na odchylenie standardowe zależy od tego, czy mamy do czynienia z całą populacją, czy też z próbą, mającą reprezentować większą populację.

jeśli mamy do czynienia z odchyleniem standardowym całej populacji, w mianowniku pojawia się liczba punktów, albo liczebność populacji $N$ ‍.
jeśli mamy do czynienia z odchyleniem standardowym próby, które ma w przybliżeniu określić odchylenie standardowe populacji, w mianowniku pojawia się liczba mniejsza o jeden od liczby punktów w danej próbie, czyli, $n - 1$ ‍.

Odchylenie standardowe populacji

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Odchylenie standardowe próby

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Aby obliczyć wartość odchylenia standardowego w obu przypadkach musimy wykonać dokładnie te same kroki, poza jednym—w przypadku odchylenia standardowego próby dzielimy przez liczbę równą liczbie punktów w próbie minus jeden.

W poniższych przykładach przećwiczymy krok po kroku obliczanie obu tych wyrażeń.

Wyjaśnienie, dlaczego właściwie w przypadku odchylenia standardowego populacji dzielimy przez $n - 1$ ‍ sprowadza się do tego, że zależy nam na narzędziu - statystycy mówią, na estymatorze, które najlepiej przybliża odchylenie standardowe populacji. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej na ten temat, obejrzyj ten film.

Odchylenie standardowe populacji

Oto wzór, którego używamy do obliczenia odchylenia standardowego populacji:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

A tu jest przepis, krok po kroku, jak obliczyć odchylenie standardowe populacji:

Krok 1: oblicz wartość średnią z danych—w tym wzorze, wartość średnia oznaczona jest jako

μ

Krok 2: odejmij od każdego punktu danych wartość średnią. Różnica nazywa się odchyleniem od średniej. Punkty leżące poniżej średniej będą miały odchylenia mniejsze od zera, a odchylenia punktów leżących powyżej średniej będą większe od zera.

Krok 3: podnieś wszystkie odchylenia do kwadratu.

Krok 4: dodaj do siebie kwadraty wszystkich odchyleń.

Krok 5: podziel sumę kwadratów odchyleń od średniej przez liczbę punktów w populacji. Wynik nazywa się wariancją populacji.

Krok 6: oblicz odchylenie standardowe biorąc pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Przykład: odchylenie standardowe populacji

Czworo przyjaciół porównywało liczbę punktów otrzymanych z ostatniej kartkówki.

Oblicz odchylenie standardowe liczby punktów, które otrzymali:

6

2

3

1

Krok 1: oblicz wartość średnia.

μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3

Średnia wynosi

3

punkta.

Krok 2: odejmij średnią od każdego wyniku kartkówki.

Liczba punktów: $x_{i}$ ‍	Odchylenie od średniej $(x_{i} - μ)$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍

Krok 3: podnieś wszystkie odchylenia do kwadratu.

Liczba punktów: $x_{i}$ ‍	Odchylenie od średniej: $(x_{i} - μ)$ ‍	Odchylenie do kwadratu: $(x_{i} - μ)^{2}$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍	$(- 1)^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍	$(0)^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍

Krok 4: dodaj do siebie kwadraty wszystkich odchyleń.

9 + 1 + 0 + 4 = 14

Krok 5: podziel obliczoną sumę przez liczbę ocen.

\frac{14}{4} = 3, 5

Krok 6: oblicz pierwiastek kwadratowy wyniku kroku 5.

\sqrt{3, 5} \approx 1, 87

Odchylenie standardowe wynosi w przybliżeniu

1, 87

Chcesz nauczyć się więcej o obliczaniu odchylenia standardowego populacji? Obejrzyj ten film.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Spróbuj tego ćwiczenia: odchylenie standardowe populacji.

Odchylenie standardowe próby

A to wzór, którego używamy do obliczenia odchylenia standardowego próby (pamiętaj, odchylenie standardowe zbioru danych obliczamy zawsze tak samo, w przypadku odchylenia standardowego próby chodzi o wzór, który, na podstawie próby, daje najlepsze przybliżenie odchylenia standardowego całej populacji):

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

A tu jest przepis, krok po kroku, jak obliczyć odchylenie standardowe próby:

Krok 1: oblicz wartość średnią z danych—w tym wzorze, wartość średnia oznaczona jest jako

\bar{x}

, co odróżnia ją od średniej z całej populacji.

Krok 3: podnieś wszystkie odchylenia do kwadratu.

Krok 4: dodaj do siebie kwadraty wszystkich odchyleń.

Krok 5: podziel sumę kwadratów odchyleń od średniej przez liczbę punktów w próbie minus jeden. Wynik nazywa się wariancją próby.

Krok 6: oblicz odchylenie standardowe biorąc pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Przykład: odchylenie standardowe próby

Aby oszacować, ile ołówków mają w piórnikach uczniowie pewnej klasy, wybrano próbę

4

uczniów i zbadano dokładnie, ile ołówków mają przy sobie.

Oblicz wartość średnią liczby ołówków u uczniów w tej próbie:

2

2

5

7

Krok 1: oblicz wartość średnia.

\bar{x} = \frac{2 + 2 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4

W tej próbie wartość średnia wynosi

4

ołówki.

Krok 2: odejmij średnią od każdego wyniku kartkówki.

Liczba ołówków: $x_{i}$ ‍	Odchylenie od średniej: $(x_{i} - μ)$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍

Krok 3: podnieś wszystkie odchylenia do kwadratu.

Liczba ołówków: $x_{i}$ ‍	Odchylenie od średniej: $(x_{i} - \bar{x})$ ‍	Kwadrat odchylenia: $(x_{i} - \bar{x})^{2}$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍	$(1)^{2} = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍

Krok 4: dodaj do siebie kwadraty wszystkich odchyleń.

4 + 4 + 1 + 9 = 18

Krok 5: Podziel otrzymaną sumę przez liczbę punktów minus jeden.

\frac{18}{4 - 1} = \frac{18}{3} = 6

Krok 6: oblicz pierwiastek kwadratowy wyniku kroku 5.

\sqrt{6} \approx 2, 45

Odchylenie standardowe tej próby wynosi w przybliżeniu

2, 45

Chcesz nauczyć się więcej o obliczaniu odchylenia standardowego próby? Obejrzyj ten film.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Spróbuj tego ćwiczenia: odchylenie standardowe próby i populacji.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.