Przypomnienie tożsamości trygonometrycznych

Pobaw się punktem na okręgu jednostkowym i obserwuj, jak cosinus i secans jednocześnie się zmieniają. Zauważ, że gdy cosinus rośnie, secans maleje, i na odwrót. Ich iloczyn zawsze jest równy $1$‍.

Możemy także przekonać się, że ta tożsamość jest prawdziwa, korzystając z podobieństwa trójkątów. Przesuwaj kropkę poniżej rysunku i obserwuj, jak jeden trójkąt przekształca się w drugi. Patrz uważnie, aby zobaczyć które boki odpowiadają sobie wzajemnie.

Pobaw się punktem na okręgu jednostkowym i obserwuj, jak sinus i cosecans jednocześnie się zmieniają. Zauważ, że gdy sinus rośnie, cosecans maleje, i na odwrót. Ich iloczyn zawsze jest równy $1$‍.

Możemy także przekonać się, że ta tożsamość jest prawdziwa, korzystając z podobieństwa trójkątów. Przesuwaj kropkę poniżej rysunku i obserwuj, jak jeden trójkąt przekształca się w drugi. Patrz uważnie, aby zobaczyć które boki odpowiadają sobie wzajemnie.

Pobaw się punktem na okręgu jednostkowym i obserwuj, jak tangens i cotangens jednocześnie się zmieniają. Zauważ, że gdy tangens rośnie, cotangens maleje, i na odwrót. Ich iloczyn zawsze jest równy $1$‍.

Możemy także przekonać się, że ta tożsamość jest prawdziwa, korzystając z podobieństwa trójkątów. Przesuwaj kropkę poniżej rysunku i obserwuj, jak jeden trójkąt przekształca się w drugi. Patrz uważnie, aby zobaczyć które boki odpowiadają sobie wzajemnie.

Możemy przekonać się, że ta tożsamość jest prawdziwa, korzystając z podobieństwa trójkątów. Przesuwaj kropkę poniżej rysunku i obserwuj, jak jeden trójkąt przekształca się w drugi. Patrz uważnie, aby zobaczyć które boki odpowiadają sobie wzajemnie.

Możemy przekonać się, że ta tożsamość jest prawdziwa, korzystając z podobieństwa trójkątów. Przesuwaj kropkę poniżej rysunku i obserwuj, jak jeden trójkąt przekształca się w drugi. Patrz uważnie, aby zobaczyć które boki odpowiadają sobie wzajemnie.

Ta tożsamość wynika z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do poniższego trójkąta.

Ta tożsamość wynika z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do poniższego trójkąta.

Ta tożsamość wynika z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do poniższego trójkąta.

Poniższy rysunek przedstawia jedną z metod udowodnienia wzorów na sinus i cosinus sumy kątów. Lewy i prawy bok prostokąta są sobie równe, a zatem otrzymujemy:

Górny o dolny bok prostokąta także są sobie równe, a zatem:

Najłatwiej zrozumieć, o co tu chodzi, jeśli zaczniesz od trójkąta prostokątnego w środku rysunku i skorzystasz z definicjie funkcji trygonometrycznych jako stosunków długości boków w trójkącie prostokątnym (pamiętasz SOH, CAH, TOA?).

W podobny sposób można udowodnić wzory na funkcje trygonometryczne różnicy kątów? Naszkicujesz odpowiedni rysunek?

(Ściśle mówiąc, nie udowodniliśmy tych wzorów dla wszystkich wartości $\theta$‍ oraz $\varphi$‍, a tylko dla takich, które są możliwe w trójkącie prostokątnym, ale te tożsamości są prawdziwe zawsze.)

Na poniższym rysunku przedstawiono jedną z możliwych konstrukcji dowodu wzoru na tangens sumy kątów.

Metoda dowodu jest trochę skomplikowana. Chodzi o to, żeby opisać trójkąt w lewym górnym rogu rysunku, a następnie zastosować do niego definicję tangensa kąta w trójkącie prostokątnym. W ten sposób dostaniesz:

Najłatwiej zrozumieć, o co tu chodzi, jeśli zaczniesz od dołu rysunku i będziesz posuwać się do góry, wykorzystując definicje funkcji trygonometrycznych jako stosunków długości boków w trójkącie prostokątnym (pamiętasz SOH, CAH, TOA?).

W podobny sposób można udowodnić wzór na tangens różnicy kątów? Naszkicujesz odpowiedni rysunek?

(Ściśle mówiąc, nie udowodniliśmy tych wzorów dla wszystkich wartości $\theta$‍ oraz $\varphi$‍, a tylko dla takich, które są możliwe w trójkącie prostokątnym, ale te tożsamości są prawdziwe zawsze.)

Ta tożsamość wynika ze wzoru na sinus sumy kątów, kiedy oba kąty są równe.

Tę tożsamość możemy otrzymać ze wzoru na cosinus sumy kątów, ale będzie ona kosztowała nas trochę więcej wysiłku.

Na początek, zobaczmy co się stanie, gdy oba kąty są równe.

Wykorzystajmy teraz jedynkę trygonometryczną, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$‍, aby po prawej stronie wyeliminować sinus..

A ta tożsamość wynika ze wzoru na tangens sumy kątów.

Wszystkie te tożsamości można otrzymać, korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta i dokonując w nich podstawienia:

A następnie przekształcając otrzymane wyrażenie.

Na przykład:

zamienia się w...

A następnie musimy rozwiązać to równanie ze względu na $\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$‍. Spróbuj samemu i przekonaj się, czy umiesz wykombinować jak udowodnić pozostałe tożsamości.

Możemy się o tym przekonać, analizując okrąg jednostkowy.

Możemy się o tym przekonać, analizując okrąg jednostkowy.

W tym przypadku nieco trudniej jest to zobaczyć w okręgu jednostkowym, ale zawsze możemy to udowodnić zapisując tangens jako iloraz sinusa i cosinusa, a następnie skorzystać ze wzorów na sinus i cosinus przeciwnego kąta.

A zatem,

Wszystkie te tożsamości wyglądają tak samo!

Kluczową rolę w zrozumieniu tych tożsamości odgrywa spostrzeżenie, że zamiana $\theta$‍ na ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$‍ jest równoważna odbiciu względem prostej $y=x$‍.

Poniższy interaktywny wykres ma pomóc zrozumieć, jak te kąty są ze sobą powiązane i dlaczego $\sin \theta =\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$‍. Z tej samej przyczyny prawdziwe są podobne tożsamości w przypadku pozostałych par funkcja-cofunkcja.