If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Funkcje trygonometryczne w szczególnych typach trójkątów.

Naucz się jak znaleźć sinus, cosinus i tangens trójkątów 45-45-90 i 30-60 90. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości przy wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.
Na razie używaliśmy kalkulatora, żeby obliczyć sinus, cosinus i tangens danego kąta. Można jednak wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów, nie korzystając z kalkulatora.
Dzieje się tak, ponieważ istnieją dwa szczególne trójkąty, których stosunki boków znamy! Te dwa trójkąty to trójkąt 45-45-90 oraz trójkąt 30-60-90.

Szczególne rodzaje trójkątów

Trójkąty o kątach 30-60-90
Trójkąt 30-60-90 to trójkąt prostokątny z kątem o mierze 30 oraz kątem mierze 60.
Trójkąty 45-45-90
Trójkąt 45-45-90 to trójkąt prostokątny, w którym dwa kąty mają 45 stopni.

Funkcje trygonometryczne kąta o mierze 30

Teraz jesteśmy gotowi do wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych tych kątów szczególnych. Zacznijmy od kąta o mierze 30.
Przeanalizuj poniższy przykład, żeby zobaczyć jak został rozwiązany.

Ile wynosi sin(30)?

Przeanalizujmy to na przykładzie:
Krok 1: Narysuj szczególny trójkąt, który zawiera dany kąt.
Krok 2: Opisz boki tego trójkąta w zależności od stosunków boków w danym trójkącie szczególnym.
Krok 3: Skorzystaj z definicji funkcji trygonometrycznych, żeby wyznaczyć wartość podanego wyrażenia.
sin(30)=przyprostokątna przeciwległa przeciwprostokątna=x2x=1x2x=12
Zauważ, że możesz traktować x jako 1x, żeby było jasne, że x2x=1x2x=12.
Teraz wykorzystajmy tę metodę, żeby obliczyć cos(30) oraz tan(30).

Ile wynosi cos(30)?

Ile wynosi tan(30)?

Funkcje trygonometryczne kąta o mierze 45

Spróbujmy zrobić to samo z kątem o mierze 45. W tym wypadku możemy zacząć od narysowania i opisania boków trójkąta o kątach 45-45-90.

Ile wynosi cos(45)?

Ile wynosi sin(45)?

Ile wynosi tan(45)?

Funkcje trygonometryczne kąta o mierze 60

Sposób w jaki otrzymujemy funkcje trygonometryczne dla kątów o miarach 30, 45 oraz 60 jest taki sam.
Nawet jeśli nie wyjaśniliśmy jeszcze jak wyznaczyć funkcje trygonometryczne kąta o mierze 60, posiadamy już wszystkie potrzebne nam informacje!

Ile wynosi cos(60)?

Ile wynosi sin(60)?

Ile wynosi tan(60)?

Podsumowanie

Obliczyliśmy wartości funkcji trygonometrycznych dla 30, 45 oraz 60. Poniższa tabela zawiera zawiera otrzymane przez nas wyniki.
cos(θ)sin(θ)tan(θ)
θ=30321233=13
θ=4522=1222=121
θ=6012323
Te wartości występują dość często w zaawansowanych zadaniach z trygonometrii. Z tego powodu warto je znać.
Niektórzy zapamiętują te wartości, ale nie jest to niezbędne. W tym artykule sami wyprowadziliśmy te wartości, więc prawdopodobnie będziesz potrafić zrobić to na nowo, gdy będzie to potrzebne.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.