Odczytywanie sinusoidy z wykresu

Napisz równanie funkcji f od x o powyższym wykresie. Czyli mamy tę wybitnie okresową funkcję. Czyli natychmiast moglibyście powiedzieć, cóż, to będzie albo funkcja sinus, albo cosinus. Jednak jej oś symetrii i jej amplituda nie należą do zwykłej funkcji sinus, lub cosinus. I możemy to zobaczyć o tutaj. Oś symetrii jest w połowie drogi między maksimum i minimum. Maksimum jest tutaj i osiąga wartość y równy 1. W minimum wartość y jest równa minus 5. Czyli w połowie drogi między nimi, średnia z 1 i minus 5, 1 dodać odjąć 5 to minus 4. Podzielone przez 2 to minus 2. Czyli tutaj jest oś symetrii. Czyli to jest y równe minus 2. Czyli wyraźnie jest to przesunięte w dół. Właściwie, będę mówić za moment, jak się to może wyrażać. Lecz teraz, także, pomyślmy o amplitudzie. Tu amplituda - czyli jak daleko można odejść od osi symetrii - widzimy tutaj. Tu możemy iść 3 jednostki ponad oś symetrii. Idąc od minus 2 do 1, to wymaga 3 jednostki ponad oś symetrii do maksimum. I także możemy iść 3 jednostki poniżej osi symetrii aż do minimum. Czyli wyraźnie amplituda tutaj wynosi 3. Czyli natychmiast możemy powiedzieć, cóż, spójrzcie. To będzie mieć formę coś na kształt f od x równe czemuś o amplitudzie 3. Jeszcze nie doszliśmy do wniosku czy to będzie funkcja sinus, czy cosinus. Więc napiszę "cosinus" wpierw. Cosinus może od jakiś współczynnik razy x dodać oś symetrii. Oś symetrii - już doszliśmy do wniosku - to minus 2. Czyli to może przybrać tę formułę, lub f od x równy 3 razy - to mogłoby być sinus od x, lub sinus od jakiś współczynnik razy x. Sinus od kx odjąć 2 dodać oś symetrii - czyli minus 2. Tak więc jak się dowiemy która z tych form to jest? Cóż, pomyślmy o właściwościach tej funkcji gdy x jest równy 0. Gdy x jest równy 0, jeśli to jest kx, wówczas argument dla funkcji cosinus będzie równy 0. Cosinus dla 0 to 1. Bez względu na to, czy mówicie o stopniach, czy radianach, cosinus dla 0 jest równy 1. Podczas gdy sinus dla 0 - więc gdy x to 0, to k razy 0 to też będzie 0 - sinus dla 0 to 0. Czyli która z tych rzeczy zachodzi dla x równego 0? Cóż, gdy x jest równy 0, jesteśmy na osi symetrii. Jeśli jesteśmy na osi symetrii, oznacza to, że to wszystko tutaj wynosi 0. Czyli, ponieważ gdy x jest równy 0, to wszystko jest równe 0, możemy wykluczyć funkcję cosinus. Gdy x jest równe 0 tu, to nie jest równe 0. Czyli możemy wykluczyć to tutaj. Czyli zostaliśmy z tym. Czyli naprawdę potrzebujemy się dowiedzieć - ile może wynosić ta stała? I aby o tym pomyśleć spójrzmy na okres tej funkcji. Zobaczmy. Jeśli poszliśmy z tego punktu - gdzie dzielimy oś symetrii pod dodatnim nachyleniem, kolejny punkt, gdzie tak się dzieje jest tutaj. Czyli nasz okres to 8. Czyli jaki współczynnik moglibyśmy mieć tutaj by okres naszej funkcji byłby równy 8? Cóż, przypomnijmy sobie jaki jest okres sinusa od x. Więc, okres sinusa od x - napiszę tu słowo "okres" - to 2 pi. Zwiększasz kąt o 2 pi, lub zmniejszasz go i jesteś w tym samym punkcie okręgu jednostkowego. Więc jaki byłby okres sinusa od kx? Cóż, teraz, wasz x, argument wzrasta k razy szybciej. Czyli wrócimy do tego samego punkty k razy szybciej. Czyli teraz okres to będzie 1/k początkowego. Czyli teraz okres to będzie 2 pi przez k. Zauważcie, gdy x wzrasta, argument funkcji sinus wzrasta k razy szybciej. Mnożycie go przez k. Czyli wasz okres będzie krótki. To zajmie mniejszy dystans dla argumentu by wrócić do początkowego punktu na okręgu jednostkowym. Pomyślmy o tym w ten sposób - gdybyśmy powiedzieli, że 2 pi przez k jest równe 8, cóż, to jakie jest nasze k? Cóż, moglibyśmy wziąć odwrotność po obu stronach. Otrzymujemy k przez 2 pi jest równe 1/8. Mnożymy obie strony przez 2 pi. I otrzymujemy k jest równe - spójrzmy. To jest 1. To jest 4. k jest równe pi/4. I to wszystko. I możemy to zweryfikować wypróbowując trochę punktów spośród tych. Ta funkcja jest równa 3 sinus od pi przez 4x odjąć 2.