Elastic collisions review

Review the key concepts, equations, and skills for elastic collisions, including how to predict objects' final velocities.

Pojęcia kluczowe

Nazwa (popularne oznaczenie)	Wyjaśnienie
Układ izolowany	Układ odizolowany od wpływów otoczenia, na który nie działają sily zewnętrzne. Czasem używamy w tym kontekście określenia "układ zamknięty"..
Zasada zachowania pędu	W układzie izolowanym całkowity pęd elementów układu jest zachowany, nie zmienia się w czasie.
Zderzenie elastyczne	Zderzenie, w którym zachowują się całkowity pęd i energia kinetyczna składników. Sumy pędów składników przed i po zderzeniu są identyczne i to samo jest prawdą w przypadku sum energii kinetycznych.

Równania

Równanie	Wyjaśnienie oznaczeń	Interpretacja fizyczna
$p_{i} = p_{f}$ ‍	$p_{i}$ ‍ i $p_{f}$ ‍ oznaczają odpowiednio całkowity pęd początkowy (i) i końcowy (f)	W układzie izolowanym całkowity pęd początkowy elementów układu równa się całkowitemu pędowi końcowemu. Matematyczny zapis zasady zachowania pędu.

W przypadku dwóch obiektów o masie

m_{1}

m_{2}

równanie wynikające z zasady zachowania pędu ma postać (pamietaj, że występujące w tych równaniach pędy i prędkości są wektorami):

\begin{aligned} p_{i} & = p_{f} \\ p_{1 i} + p_{2 i} & = p_{1 f} + p_{2 f} \\ m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} & = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f} \end{aligned}

Gdzie:

$p_{1 i}$ ‍ oznacza początkowy pęd pierwszego obiektu.
$p_{2 i}$ ‍ oznacza początkowy pęd drugiego obiektu.
$p_{1 f}$ ‍ oznacza końcowy pęd pierwszego obiektu.
$p_{2 f}$ ‍ oznacza końcowy pęd drugiego obiektu.
$v_{1 i}$ ‍ oznacza prędkość początkową pierwszego obiektu.
$v_{2 i}$ ‍ oznacza prędkość początkową drugiego obiektu.
$v_{1 f}$ ‍ oznacza prędkość końcową pierwszego obiektu.
$v_{2 f}$ ‍ oznacza prędkość końcową drugiego obiektu.

Obliczanie prędkości końcowych w zderzeniach elastycznych dwóch obiektów

W zderzeniach elastycznych energia kinetyczna jest zachowana:

\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2}

W układzie izolowanym pęd zachowany jest zawsze:

m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f}

Wyobraźmy sobie teraz, że znajdujemy się w układzie współrzędnych, w którym obiekt 2 spoczywa (jeśli wyobrażamy sobie zderzenie samochodów, to oznacza to, że siedzimy w drugim samochodzie). W tym układzie obiekt 2 porusza się z prędkością

v_{12} = v_{1} - v_{2}

(pamiętaj, prędkości są wektorami, więc to jest różnica wektorów!) Prędkość obiektu 1 w układzie współrzędnych, w którym obiekt 2 spoczywa nazywamy względną prędkością $v_{12}$ ‍ obiektu 1względem obiektu 2. Okazuje się, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z równania wyrażającego zasadę zachowania energii kinetycznej i równania wyrażającego zasadę zachowania pędu jest prosta relacja pomiędzy względną prędkością

v_{12 i}

przed i

v_{12 f}

po zderzeniu. Nie przedstawiamy tutaj tego rachunku, ale możmy go opisać. Zasadę zachowania energii kinetycznej można przekształcić, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, do postaci, w której można ją znacznie uprościć wykorzystując drugie równanie, czyli zasadę zachowania pędu. W rezultacie otrzymamy, że:

Prędkości względne mają tę samą wartość przed i po zderzeniu. To znaczy, że wartość prędkości z jaką obiekt 1 porusza się względem obiektu 2 jest taka sama przed i po zderzeniu.

| v_{1 i} - v_{2 i} | = | v_{1 f} - v_{2 f} |

Zmienia się natomiast zwrot prędkości względnej. Z punktu widzenia obiektu 2, obiekt 1 zmieni w wyniku zderzenia swoją prędkość na skierowaną przeciwnie.

v_{1 i} - v_{2 i} = - (v_{1 f} - v_{2 f})

Zauważ, że otrzymane rozwiązanie

v_{12 f} = - v 12 i

nie zależy od mas zderzających się obiektów.

Często spotykane błędy i nieporozumienia

Pamiętaj, że pęd całkowity jest zachowany pod warunkiem, że siła wypadkowa działająca na układ równa się zero. Różna od zera siła wypadkowa, a dokładnie różny od zera popęd tej siły powoduje zmianę całkowitego pędu.

Dowiedz się więcej

Jeśli chcesz przypomnieć sobie na czym polega zasada zachowania pędu, przeczytaj artykuł na ten temat.

W zrozumieniu jak praktycznie stosować zasadę zachowania pędu pomogą Ci ten film oraz ten film.

Sprawdź, czy rozumiesz: Obliczenia szybkości lub masy jednego z obiektów biorących udział w zderzeniu za pomocą zasady zachowania pędu.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.