Interpretacja wykresów prędkości w zależności od czasu.

Oś pionowa przedstawia prędkość obiektu. Prawdopodobnie wydaje się to oczywiste, ale bądź ostrożny, wykresy prędkości są nadal trudne do interpretacji. Ludzie tak przyzwyczaili się do obliczania prędkości przez wyznaczanie prostej stycznej (tak jak robi się to na wykresie położenia), że zapomnieli o tym, że na wykresach prędkości wartość na osi pionowej oznacza prędkość. Poza tym pamiętaj — prędkość jest wektorem! To znaczy, że żeby narysować poniższy wykres, na którym prędkość w danej chwili czasu jest liczbą, musieliśmy najpierw wybrać układ współrzędnych, określić jego kierunek i zwrot — w przypadku ruchu w jednym wymiarze sprawa kierunku jest prosta, ale zwrot może nadal oznaczać ruch w prawo, lub w lewo, albo do góry, lub w dół.

Spróbuj przesuwać poziomo kropkę na poniższym wykresie, żeby wybrać różne chwile czasu i zobaczyć, jak zmienia się prędkość.
$$

Nachylenie prostej na wykresie prędkości, przedstawia przyśpieszenie obiektu. Więc wartość nachylenia prostej w danej chwili czasu, przedstawia przyśpieszenie obiektu w tej właśnie chwili.

Nachylenie prostej stycznej do wykresu prędkości, przedstawia się według następującego wzoru:

Ponieważ iloraz $\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction jest definicją przyśpieszenia, nachylenie prostej na wykresie prędkości, musi być równe przyśpieszeniu obiektu.

Oznacza to, że kiedy nachylenie jest strome, obiekt będzie zmieniał prędkość gwałtownie. Kiedy nachylenie jest łagodne, obiekt nie będzie zmieniał swojej prędkość tak gwałtownie. Oznacza to również, że jeżeli nachylenie jest ujemne (skierowane w dół), przyśpieszenie będzie ujemne, jeżeli nachylenie jest dodatnie (skierowane w górę) przyśpieszenie będzie dodatnie.

Spróbuj przesuwać kropkę poziomo, na poniższym przykładowym wykresie prędkości żeby zobaczyć, jak wygląda nachylenie prostej w określonej chwili czasu.

$$

Pomiędzy czasem $t=0\text{ s}$t, equals, 0, start text, space, s, end text i $t=2 \text{ s}$t, equals, 2, start text, space, s, end text, nachylenie prostej stycznej do krzywej jest dodatnie, ponieważ prosta jest skierowana do góry. Oznacza to, że w tym układzie współrzędnych przyśpieszenie jest dodatnie.

Pomiędzy czasem $t=2\text{ s}$t, equals, 2, start text, space, s, end text i $t=8 \text{ s}$t, equals, 8, start text, space, s, end text, nachylenie prostej stycznej do krzywej jest ujemne, ponieważ prosta jest skierowana do dołu. Oznacza to, że w tym układzie współrzędnych przyśpieszenie jest ujemne.

W czasie $t=2\text{ s}$t, equals, 2, start text, space, s, end text, nachylenie prostej jest równe zeru, ponieważ styczna jest w położeniu poziomym. Oznacza to, że przyśpieszenie w tej chwili czasu, jest równe zeru. Wektor zerowy ma składową równą zeru w każdym układzie współrzędnych.

Pytanie kontrolne: Czy obiekt, którego ruch jest opisany za pomocą powyższego wykresu, przyśpiesza czy zwalnia w czasie $t=4\\text{ s}$?

Obszar pod wykresem prędkości przedstawia przemieszczenie obiektu. Żeby zobaczyć dlaczego, rozważ następujący wykres ruchu, który pokazuje obiekt utrzymujący stałą prędkość, równą 6 metrów na sekundę w czasie 5 sekund.

Żeby obliczyć przemieszczenie w tym przedziale czasu, moglibyśmy użyć wzoru,

Co daje nam przemieszczenie równe $30\text{ m}$30, start text, space, m, end text.

Teraz pokażemy, że jest to równoznaczne z obliczeniem obszaru pod krzywą. Rozważ prostokątny obszar utworzony przez wykres, tak jak pokazano poniżej.

Pole tego prostokąta, możemy obliczyć przez pomnożenie wysokości 6 m/s, razy jego szerokość 5 s, co daje nam

Jest to taka sama odpowiedź, którą otrzymaliśmy poprzednio dla przemieszczenia. Obszar pod krzywą prędkości, niezależnie od kształtu krzywej, będzie równy przemieszczeniu w czasie tego przedziału czasu.

Surfer porusza się wzdłuż prostej linii i jego ruch jest przedstawiony poniżej, za pomocą wykresu prędkości w układzie współrzędnych skierowanym zgodnie z kierunkiem ruchu surfera.

(A) Szybkość wzrasta.
(B) Przyśpieszenie wzrasta.
(C) Szybkość maleje.
(D) Przyśpieszenie maleje.

Prosta styczna do wykresu prędkości jest przyspieszeniem. Ponieważ nachylenie prostej stycznej do krzywej maleje i staje się mniej strome, oznacza to, że przyspieszenie również maleje.

Może się to wydawać sprzeczne z intuicją, ale surfer cały czas przyśpiesza w czasie ruchu, który został przedstawiony na tym wykresie. Prędkość surfera stale rośnie dla w całym okresie, dla którego zrobiono ten wykres, ale przyrost prędkości w każdej sekundzie maleje. W pierwszych $4{,}5\\text{ s}$ szybkość wzrosła z $0\\text{ m/s}$ do około $5\\text{ m/s}$, ale dla kolejnego przedziału o długości $4{,}5\\text{ s}$ szybkość wzrosła z $5\\text{ m/s}$ tylko do około $7\\text{ m/s}$.

Ruch gokarta jest przedstawiony poniżej za pomocą wykresu prędkości gokarta w pewnym układzie współrzędnych, w funkcji czasu.

Możemy znaleźć przyśpieszenie w czasie $t = 4\text{ s}$t, equals, 4, start text, space, s, end text, wyznaczając nachylenie wykresu prędkości w czasie $t = 4\text{ s}$t, equals, 4, start text, space, s, end text:

Dla naszych dwóch punktów, wybierzemy początek $(3\text{ s}, 6\text{ m/s})$left parenthesis, 3, start text, space, s, end text, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis i koniec $(7\text{ s}, 0\text{ m/s})$left parenthesis, 7, start text, space, s, end text, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis skośnej linii, odpowiednio jako punkty jeden i dwa. Podstawiając te punkty do wzoru na nachylenie prostej, otrzymujemy,

Możemy wyznaczyć przemieszczenie gokarta, przez obliczenie obszaru pod wykresem prędkości. Możemy przyjąć, że wykres jest prostokątem (pomiędzy $t=0\text{ s}$t, equals, 0, start text, space, s, end text i $t=3\text{ s}$t, equals, 3, start text, space, s, end text) i trójkątem (pomiędzy $t=3\text{ s}$t, equals, 3, start text, space, s, end text i $t=7\text{ s}$t, equals, 7, start text, space, s, end text). Po obliczeniu i dodaniu pól tych figur, otrzymamy całkowite przemieszczenie.

Pole prostokąta obliczamy jako

Pole trójkąta obliczamy jako

Dodając do siebie oba pola, otrzymujemy całkowite przemieszczenie.

$\text{całkowite przemieszczenie}=30\text{ m}$start text, c, a, ł, k, o, w, i, t, e, space, p, r, z, e, m, i, e, s, z, c, z, e, n, i, e, end text, equals, 30, start text, space, m, end text. Otrzymaliśmy wartość dodatnią, to znaczy że gokart przemieścił się o $30$30 m w kierunku zgodnym z orientacją układu współrzędnych.