Optymalny kąt dla pocisku część 1: Składowe prędkości początkowej — film z polskimi napisami

Powiedzmy, że chcemy wystrzelić w powietrze pocisk pod pewnym kątem. Niech początkowa szybkość pocisku wynosi s (od speed - prędkość po angielsku), a kąt pd jakim strzelamy, kąt względem horyzontu nazwiemy theta (theta - litera greckiego alfabetu)/ W tym filmie chcę obliczyć jak daleko doleci pocisk w funkcji kąta i prędkości początkowej, zakładając że znamy szybkość początkową. Że mamy ją zadaną. A więc, jeśli to jest powierzchnia ziemi, chcemy obliczyć jak daleko poleci nasz pocisk. Możecie sobie wyobrazić, że będzie leciał po paraboli i wyląduje tam, w pewnym punkcie. I jeśli ten punkt jest w odległości 0 to oznaczmy odległość do tego punktu przez d. Zawsze, kiedy macie tego typu problem, gdzie wystrzeliwujecie coś pod kątem, najlepiej rozpocząć od rozkładu tego wektora na składowe. Pamiętacie, że wektor ma długość, kierunek i zwrot. Długość wynosi s. Mierzona w stopach na sekundę, albo milach na godzinę (stopy i mile - anglosaskie jednostki długości). A kąt, który określa kierunek, wynosi theta. A więc jeśli mamy s i theta, to znaczy że mamy wektor. I to co chcemy zrobić, to najpierw rozłożyć ten wektor na składowe pionową i poziomą, i potraktować je oddzielnie. Pierwsza posłuży do obliczenia, jak długo pocisk będzie utrzymywał się w powietrzu. A druga pomoże nam wyznaczyć, dokąd doleci. Pozwólcie że narysuje duży rysunek tego wektora. Przypominam, że długość wektora wynosi s. Możecie sobie wyobrazić, że długość tej strzałki wynosi s. A ten kąt tutaj to theta. Aby rozłożyć ten wektor na poziomą i pionową składową, powinniśmy narysować trójkąt prostokątny i wykorzystać funkcje trygonometryczne, które znamy. Więc zróbmy tak. To będzie powierzchnia ziemi. Z wierzchołka strzałki spuszczam pionową linię, aby utworzyć trójkąt prostokątny. I długość - albo wielkość pionowej składowej naszej prędkości to będzie ta długość tutaj. To będzie - możecie sobie wyobrazić, ta długość będzie długością składowej pionowej. To jest nasza prędkość pionowa. Nazwę ją prędkością ze znaczkiem V jak vertical. (vertical - pionowy po angielsku). A teraz, to tutaj, długość tego boku trójkąta - narysuję to innym kolorem. Długość tego boku trójkąta to będzie nasza prędkość pozioma, albo składowa tej prędkości w kierunku poziomym. Używam słowa prędkość kiedy chcę określić i szybkość i kierunek. Szybkość jest wartością prędkości. Więc długość tego boku będzie wartością prędkości poziomej. I żeby ją obliczyć trzeba po prostu użyć funkcji trygonometrycznych, które znamy. Mamy trójkąt prostokątny. To jest przeciwprostokątna. Możemy napisać tutaj soh cah toa (mnemotechniczna sztuczka w języku angielskim ułatwiająca zapamiętanie definicji funkcji trygonometrycznych) Napiszę to na żółto. soh caj toa. To nam przypomina że sinus jest stosunkiem przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta theta do przeciwprostokątnej, cosinus jest stosunkiem przyprostokątnej leżącej przy kącie theta do przeciwprostokątnej i tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej na przeciw do tej leżącej przy kącie theta. Zobaczmy co można z tym zrobić. Zakładamy że znamy kąt theta i znamy s. I chcemy obliczyć ile wynoszą składowe pionowa i pozioma. Ile wynosi składowa pionowa? No cóż, składowa pionowa leży na przeciw kąta theta. Wiemy, że długość przeciwprostokątnej wynosi s, więc możemy wykorzystać definicję sinusa, ponieważ sinus jest określony przez przyprostokątna leżącą na przeciw kąta i przez przeciwprostokątną. I funkcja sinus mówi nam, że sinus theta - napisze to w zielonym kolorze ponieważ wszystko, co odnosi się do pionowej składowej zapisujemy na zielono. Sinus theta równa się stosunkowi składowej leżącej na przeciwko, która jest wielkością pionowej składowej prędkości. Bok na przeciw kąta to ten bok tutaj, podzielić na przeciwprostokątną. A długość przeciwprostokątnej wynosi s. A więc jeśli chcemy wyznaczyć z tego długość składowej pionowej, albo składową pionową prędkości, musimy pomnożyć obie strony tego równania przez s. Dostaniemy s (razy) sinus theta równa się pionowej składowej prędkości, s sinus theta. I dla składowej poziomej robimy to samo, tylko że nie z sinusem. Tym razem chodzi o bok leżący przy kącie. A to cosinus wiąże przyprostokątną leżącą przy kącie z przeciwprostokątna. Więc możemy napisać, że cosinus theta równa się stosunkowi przyprostokątnej leżącej przy kącie theta, a to jest prędkość pozioma, do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna to jest ten bok, o długości s. Więc jeśli chcemy wyznaczyć prędkość poziomą, albo poziomą składową, albo wartość prędkości poziomej, po prostu mnożymy obie strony przez s. I dostajemy s (razy) cosinus theta równa się prędkość pozioma. Wiemy już z jaką prędkością poruszamy się w tym kierunku, w kierunku poziomym. Wiemy, że to będzie cosinus theta. I wiemy także że w kierunku pionowym - pozwólcie, że zapiszę to pionowo - wartość prędkości wynosi s sinus theta. To jest s sinus theta. Rozłożyliśmy prędkość na dwie składowe i teraz jesteśmy gotowi żeby obliczyć czas lotu pocisku. Na następnym filmie.