Główna zawartość

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2

Lekcja 1: Elementy obwodu

Idealne źródła i idealne komponenty

Idealne oporniki, kondensatory i cewki indukcyjne. Idealne źródła prądu i napięcia. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Na obwód elektryczny składają się elementy, w tym przynajmniej jedno źródło. Źródło jest podłączone do całej masy komponentów. Opiszemy źródła oraz komponenty wykorzystując obiekty będące matematyczną idealizacją ich rzeczywistych odpowiedników. Kończąc ten rozdział, zostaniemy uzbrojeni w poręczny zestaw równań. Łącząc je, będziemy w stanie opisać wiele użytecznych funkcji elektronicznych. W kolejnym rozdziale, poznamy rzeczywiste komponenty, których działanie jest zbliżone do idealizacji, które za chwilę zdefiniujemy.

Do elementów należą źródła oraz komponenty

Źródła dostarczają energię do obwodu. Dzieli się je na dwa podstawowe typy:

Żródło napięcia
Żródło prądu

Komponenty dzielą się na trzy podstawowe typy.

Rezystor
Kondensator
Cewka

Wymienione źródła i komponenty posiadają dwa zaciski (punkty połączeniowe). Nie jest więc zaskakujące, że nazywane są dwójnikami.

Idealne źródła

Źródło stałonapięciowe

Idealne źródło stałonapięciowe ma ustalone napięcie, niezależne od prądu pobieranego przez komponenty podłączone do jego zacisków, tak jak przedstawiono to na poniższym wykresie prądu od napięcia:

Równanie napięcia generowanego przez źródło stałonapięciowe wygląda następująco:

v = V

gdzie

V

oznacza stałe napięcie wyjściowe, na przykład

v = 3 V

Często spotyka się oznaczenie

e

oznaczające napięcie, pochodzące od terminu "siła elektromotoryczna" (SEM). Niekiedy używamy go w kontekście napięcia generowanego na źródle (baterii albo generatorze).

Na schematach obwodów często używa się jednego z poniższych dwóch oznaczeń źródła stałonapięciowego:

Symbol po lewej stronie jest używany do oznaczenia baterii. Dłuższa pozioma linia oznacza dodatni zacisk baterii, a krótsza -- ujemny. Symbol z kółkiem reprezentuje źródło innego typu. Często jest to zasilacz. Dobrą praktyką jest rysowanie symboli

+

-

wewnątrz kółka.

Źródło napięcia zmiennego

Idealne źródło napięcia zmiennego generuje napięcie o takim samym przebiegu niezależnie od prądu pobieranego przez elementy podłączone do jego zacisków, jak przedstawiono to na poniższym wykresie

n a p i ę c i a

c z a s u

Zmianę napięcia w czasie wyrażamy wzorem:

v = v (t)

v (t)

może mieć kształt funkcji sinus albo dowolny inny przebieg w czasie. Może to być na przykład pojedynczy skok napięcia labo powtarzającej się fali prostokątnej

Oznaczenie źródła zmiennonapięciowego:

Zygzak wewnątrz koła symbolizuje generator sinusoidalny. Spotkamy się z odmianami tego symbolu dla różnych kształtów fali.

Te idealizacje źródeł napięcia mogą wytworzyć dowolnie ogromny prąd jeśli wymagają tego podłączone elementy. Tak oczywiście nie zdarza się w rzeczywistości. Nic nie stoi na przeszkodzie temu, by gigantyczne prądy pojawiały się w symulacjach działania obwodu. Komputerowi wszystko jedno czy prąd osiąga kwintylion amperów, ale raczej nie takie było zamierzenie programisty.

Źródło stałoprądowe

Idealne źródło stałoprądowe wytwarza prąd o stałym natężeniu niezależnie od napięcia na jego zaciskach, tak jak przedstawiono to na poniższym wykresie

p r ą d u

n a p i ę c i a

Równanie prądu generowanego przez źródło stałoprądowe wygląda następująco:

i = I

gdzie

I

oznacza stały prąd wyjściowy, na przykład

i = 2 mA

Oznaczenie źródła stałoprądowego:

Strzałka oznacza kierunek przepływu dodatniego prądu.

Napięcie na zaciskach może przyjmować dowolną wartość potrzebną do wygenerowania stałego prądu, nawet jeśli jest olbrzymie. Budując prawdziwe źródła prądu jesteśmy oczywiście znacznie ograniczeni w porównaniu do wyidealizowanego źródła prądu.

Opornik

Napięcie na oporniku jest wprost proporcjonalne do natężenia płynącego przez niego prądu.

v = R i Prawo Ohma

Powyższa zależność, nazywana Prawem Ohma, jest używana bardzo często w analizie obwodów prądu.

R

jest stałą proporcjonalności, reprezentującą oporność. Jednostką oporności jest ohm, oznaczany grecką wielką literą omega,

Ω

Zależność prądowo-napięciowa opornika przedstawiona jest poniżej. Narysowane jest równanie

i = v / R

. Zatem współczynnik nachylenia prostej wynosi

1 / R

Opornik oznaczamy w następujący sposób:

W Stanach Zjednoczonych i Japonii opornik oznacza się zygzakiem. W Wielkiej Brytani, Europie i innych częściach świata, opornik często oznacza się prostokątem.

Prawo Ohma można zapisać na kilka sposobów, z których każdy jest na swój sposób użyteczny:

v = i R i = \frac{v}{R} R = \frac{v}{i}

Prawo Ohma warto znać na pamięć.

Udało mi nauczyć się Prawa Ohma przez powtarzanie

e = i R e i R e i R e i R …

do momentu, kiedy jego postać wypaliła się w moim umyśle niczym mantra. (Jak wiemy,

e

v

mogą być stosowane wymiennie jako oznaczenia napięcia); Spodobało mi się brzmienie litery

e

Po przelaniu mojej mantry na papier, łatwo mi jest odnaleźć w głowie odpowiednią zależność.

Dzięki temu obrazkowi również można łatwo zapamiętać postać prawa Ohma.

Wybraną wielkość zasłoń palcem

(v

i

, albo

R)

i odczytaj równanie. Na przykład, aby wyznaczyć

R

, zasłoń literę

R

, odczytując

v / i

. Aby wyznaczyć

v

, zasłoń literę

v

i odczytaj

i R

Na tym etapie powinieneś poświęcić chwilę na znalezienie metody która pozwoli Ci skutecznie zapamiętać prawo Ohma. Wkrótce okaże się, że było warto.

Moc na oporniku

Opornik rozprasza moc przepływającego przez niego prądu.

Energia przepływających elektronów przekształcana jest na ciepło w wyniku kolizji elektronów z atomami opornika. Moc można wyrazić na kilka równoważnych sposobów przy pomocy Prawa Ohma:

p = v i

p = (i R) i = i^{2} R

p = v (\frac{v}{R}) = \frac{v^{2}}{R}

Ostatnie dwa wyrażenia pokazują, że moc na oporniku zwiększa się bądź zmniejsza proporcjonalnie do kwadratu napięcia albo prądu.

Dwukrotne zwiększenie napięcia albo prądu prowadzi do czterokrotnego wzrostu zużywanej mocy.
Zmniejszając napięcia albo prąd o połowę, zmniejszymy moc
Aaron znalazł sposób na dwukrotne zmniejszenie napięcia na oporniku. Kiedy Beata spojrzała na projekt urządzenia Aarona, udało jej się znaleźć sposób na dwukrotne zmniejszenie prądu.

Kondensator

Podstawowe równanie opisujące działanie kondensatora łączy ładunek zgromadzony na jego okładkach z przyłożonym napięciem

Q = C V

Stała proporcjonalności

C

nazywana jest pojemnością. Jednostką pojemności jest farad, oznaczany wielką literą

F

. Z powyższego równania wynika, że

1 farad = 1 kulomb / wolt

Jeśli ładunek może się poruszać, do opisu tego ruchu wprowadzimy odpowiednią terminologię. Ruch ładunku nazywamy prądem. Prąd jest szybkością zmiany ładunku:

i = \frac{d q}{d t}

Opierając się na ten idei, zróżniczkujmy obustronnie równanie

Q = C V

względem czasu. Otrzymamy równanie

\frac{d q}{d t} = C \frac{d v}{d t}

otrzymując równanie wyrażające fakt, że natężenie prądu dostarczanego do kondensatora jest wprost proporcjonalne do szybkości zmian napięcia na kondensatorze,

i = C \frac{d v}{d t}

Równanie kondensatora opisuje jego zależność napięciowo-prądową. Prowadzi również do wniosku, że właściwości obwodów elektrycznych mogą być zależne od czasu.

Kondensatory oznaczamy w następujący sposób:

Wariant z krzywą linią oznacza kondensator skonstruowany tak, by jeden zacisk miał dodatnie napięcie względem drugiego. Zakrzywiona linia oznacza zacisk który ma bardziej ujemne napięcie.

Możemy przekształcić równanie kondensatora tak, by wyrazić

v

przez

i

. W tym celu scałkujemy je obustronnie i otrzymamy postać całkową równania kondensatora, czyli

v = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^{T} i d t

Dolna granica całkowania

- \infty

sugeruje, że napięcie na kondensatorze w chwili

T

zależy nie tylko od chwilowego prądu, ale od całej historii zmian prądu podanego na kondensator. To bardzo długi okres czasu, często więc zmiany natężenia zaczynamy rejestrować w chwili

t = 0

, gdy napięcie równe jest

v_{0}

v = \frac{1}{C} \int_{0}^{T} i d t + v_{0}

Symbol

\int

pochodzi z rachunku całkowego i jest symbolem całki. W swoim działaniu przypomina symbol sumy

Σ

(wielka grecka litera sigma).

W powyższym równaniu, znak całkowania mówi nam by zsumować iloczyn prądu

i

z infinitezymalnym przyrostem czasu

d t

dla każdego

t

poczynając od czasu

t = - \infty

aż do

t = T

. Całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Całkowania możesz nauczyć się z kursu rachunku całkowego.

Moc i energia na kondensatorze

Moc chwilowa (wyrażona w watach) na kondensatorze wyrażona jest poprzez zależność

p = v i

p = v C \frac{d v}{d t}

Energię

(U)

otrzymamy przez scałkowanie mocy po czasie

U = \int p d t = \int v C \frac{d v}{d t} d t = C \int v d v

Zakładając, że napięcie początkowe (czyli dolna granica całkowania) wynosiło

0 V

, w wyniku całkowania otrzymujemy zależność

U = \frac{1}{2} C v^{2}

W odróżnieniu od opornika, gdzie energia tracona jest w postaci ciepła, na idealnym kondensatorze energia nie ulega stratom, ale jest gromadzona gdy ładunek wypływa z kondensatora.

Cewka indukcyjna

Napięcie na cewce indukcyjnej jest wprost proporcjonalne do szybkości zmian natężenia prądu płynącego przez cewkę,

v = L \frac{d i}{d t}

Powyższa własność wynika z możliwości gromadzenia przez cewkę energi w postaci otaczającego pola magnetycznego. Zgromadzona energia magnetyczna może zostać oddana do obwodu przez wytworzenie prądu elektrycznego.

Stałą proporcjonalności

L

nazywamy indukcyjnością. Jednostką indukcyjności jest henr, oznaczany wielką literą H.

Symbolem indukcyjności jest

L

, na cześć rosyjskiego fizyka Heinricha Lenza i jego pionierskiej pracy nad elektromagnetyzmem (Litera

I

była już zajęta przez prąd (ang. current), a z kolei litera

C

była już zajęta przez oznaczenie kulomba.)

Jednostką indukcyjności jest henr, a symbolem jednostki jest litera

H

, na cześć amerykańskiego naukowca Josepha Henry'ego (pierwszego sekretarza Instytutu Smithsona oraz wynalazcy dzwonka)

Mechanizm indukcyjnych właściwości cewki nawiniętego przewodu jest złożonym tematem związanym ze ścisłym powiązaniem elektryczności z magnetyzmem. Dokładne wytłumaczenie wykracza poza zakres niniejszej lekcji. Na razie musimy przyjąć na wiarę, że napięcia na cewce jest proporcjonalne do szybkości zmian prądu.

Symbol cewki indukcyjnej,

wygląda jak kawałek nawiniętego drutu. Tak najczęściej tworzy się cewkę.

Podobnie jak przypadku równania kondensatora, możemy zapisać równanie cewki w postaci całkowej, czyli zależność

i

v

. Zwróć uwagę na analogię między równaniami kondensatora i cewki indukcyjnej.

i = \frac{1}{L} \int_{- \infty}^{T} v d t

v = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^{T} i d t

Dolna granica całkowania

- \infty

sugeruje, że natężenie prądu przez cewkę w chwili

T

zależy nie tylko od chwilowego napięcia, ale od całej historii jego zmian. Zwykle przyjmujemy dla pewnej chwili czasu

t = 0

prąd równy

i_{0}

i = \frac{1}{L} \int_{0}^{T} v d t + i_{0}

Moc i energia cewki indukcyjnej

Moc chwilowa (wyrażona w watach) na cewce wyrażona jest poprzez zależność

p = i v

p = i L \frac{d i}{d t}

Energię

(U)

zgromadzoną w polu magnetycznym cewki otrzymamy przez scałkowanie mocy po czasie

U = \int p d t = \int i L \frac{d i}{d t} d t = L \int i d i

U = \frac{1}{2} L i^{2}

W odróżnieniu od opornika, gdzie energia tracona jest w postaci ciepła, na idealnej cewce indukcyjnej energia nie ulega stratom, ale jest gromadzona gdy pole magnetyczne generuje prąd elektryczny w przewodach.

Podsumowanie równań idealnych elementów

Poniżej zestawione są trzy podstawowe zależności

i

v

elementów obwodów elektrycznych:

v = i R

prawo Ohma

i = C \frac{d v}{d t}

równanie kondensatora

v = L \frac{d i}{d t}

równanie cewki indukcyjnej

Te trzy równania będą Twoimi podstawowymi narzędziami pracy w analizie obwodów.

Ponadto, opracowaliśmy wyrażenia na moc i energię na elementach obwodu.

Moc opornika wyrażona jest przez:

p = i v

albo

i^{2} r

albo

v^{2} / r

Energia kondensatora wynosi

\frac{1}{2} C v^{2}

Energia cewki indukcyjnej

\frac{1}{2} L i^{2}

W następnym artykule dowiemy się jak opisywane są rzeczywiste elementy, które w swoim działaniu zbliżają się do matematycznych idealizacji przedstawionych powyżej.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.