Główna zawartość

Prawa Kirchhoffa

Prawa Kirchhoffa opisują jak sumować natężenia prądów wpływających do węzła oraz napięć wokół pętli obwodu. Te dwa równania stanowią podstawę zaawansowanej analizy obwodów. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Prawa Kirchoffa dla prądu i napięcia są kluczowe dla rozwiązywania obwodów. Te dwa prawa, plus dodatkowe równania dla pojedynczych elementów (opornik, kondensator, cewka indukcyjna) tworzą zestaw reguł który wystarczy do rozwiązywania najprostszych obwodów.

Ten artykuł zakłada że znasz następujące definicje: węzeł, rozdzielony węzeł, gałąź, pętla
Artykuł zawiera zadania, więc miej w pobliżu kartkę i ołówek.

Prądy wpływające do węzła

Zanim omówimy teorię, zastanów się nad jednym przykładem. Na schemacie pokazane są cztery gałęzie przez które prąd wpływa i wypływa z poniższego rozproszonego węzła. Natężenia wyrażono w miliamperach, oprócz jednego,

i

, którego wartość nie jest znana.

Zadanie 1: Ile wynosi $i$ ‍?

Jest zrozumiałe, że prąd wpływający do węzła znajdzie sposób, by z niego wypłynąć inną gałęzią. Nie oczekujemy, żeby prąd tylko wpływał i w jakiś sposób gromadził się wewnątrz węzła.

Do węzła wpływają prądy o łącznym natężeniu

6 mA

(5 z lewej, 1 z prawej), więc gdzieś musi wypłynąć łącznie tyle samo -

6 mA

2 mA

wypływa w górę, więc pozostałe

4 mA

musi wypłynąć dolną gałęzią oznaczoną

i

. Niebieska strzałka przy

i

wskazuje kierunek od węzła. Kierunek strzałki pokrywa się z kierunkiem prądu, więc natężenie ma wartość dodatnią.

i = 4 mA

Kolejny przykład rozważymy na literach, zamiast podstawiać liczbowe wartości natężeń. Mamy węzeł z którym połączone jest pięć gałęzi. W każdej z nich może (lub nie) płynąć prąd o natężeniu oznaczonym od

i_{1} do i_{5}

Wszystkie strzałki skierowane są do węzła. Wybór kierunku jest umowny. W tym momencie nie ma znaczenia, czy strzałki będą skierowane do środka czy jakkolwiek inaczej. Strzałki określają nam kierunek przepływu prądu o dodatnim natężeniu.

Rozważmy jedną z gałęzi w której płynie

i_{1}

.
Gdzie trafia prąd?

W pierwszej kolejności, prąd o natężeniu

i_{1}

wpływa do węzła (oznaczonego czarną kropką).

Co dalej?

Oto czego

i_{1}

nie może zrobić: Po pierwsze,

i_{1}

nie zostanie wewnątrz węzła. Węzeł nie może gromadzić w sobie ładunku. Po drugie, ładunek niesiony w

i_{1}

nie może "zeskoczyć" z przewodów i zniknąć. Ładunek, w normalnych warunkach, tak się nie zachowuje.

Co nam pozostaje? Prąd musi wypłynąć z węzła przy pomocy jednej lub więcej gałęzi.

Dla węzła z naszego przykładu możemy zapisać ten fakt równaniem,

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5} = 0

Jeżeli wartość

i_{1}

jest dodatnia, więc zgodnie z naszą konwencją, wpływa on do węzła, to jeden lub więcej z pozostałych wyrazów musi być ujemny i wypływać z węzła.

Tę obserwację zgrabnie opisuje pierwsze prawo Kirchhoffa, nazywane również prądowym.

Prądowe prawo Kirchhoffa

Prądowe prawo Kirchhoffa głosi, że suma natężeń wszystkich prądów wpływających do węzła musi równoważyć się z sumą natężeń wszystkich prąd z niego wypływających. Można zapisać je w postaci równania:

\sum i_{w e j} = \sum i_{w y j}

Prądowe prawo Kirchhoffa - sprawdzenie wiedzy

Wartości natężeń prądów podano w miliamperach,

mA

Zadanie 2: Ile wynosi $i_{5}$ ‍?

Zastosujemy bezpośrednio prądowe prawo Kirchhoffa:

\sum_{n} i_{n} = 0

Porada: Przed rozpoczęciem, sprawdź kierunek strzałek. Czy skierowane są do węzła, na zewnątrz, albo w pomieszanych kierunkach? Dzięki temu oszczędzisz sobie popełnienia częstego błędu w określeniu znaków.

Wszystkie strzałki skierowane są do węzła. Możemy więc od razu zapisać ich sumę.

Zapisz sumę natężeń prądu w pięciu gałęziach i przyrównaj ją do zera,

1 + 4 + (- 2) + 3 + i_{5} = 0

Wyznacz

i_{5}

i_{5} = - [1 + 4 - 2 + 3]

i_{5} = - 6 mA

Zadanie 3: Ile wynosi $i_{3}$ ‍ w poniższym rozproszonym węźle?

To pytanie sprawdzi twoją umiejętność pilnowania znaków i kierunków strzałek. Strzałki są skierowane w różne strony, część wchodzi, a część wychodzi z węzła. Podejdź do tego na spokojnie, żeby się nie pomylić. Możemy podzielić rozwiązanie na dwa kroki,

Narysuj węzeł tak, by wszystkie strzałki skierowane były w jednym kierunku (do węzła lub z węzła). Popraw znaki tam gdzie jest taka potrzeba.
Zastosuj prądowe prawo Kirchhoffa.

Krok 1. Strzałka przy

i_{3}

skierowana jest na zewnątrz. Przyjmiemy to jako nasze odniesienie i skierujemy wszystkie pozostałe strzałki w tym samym kierunku co

i_{3}

, poprawiając przy tym znaki. Patrząc na wyjściowy schemat widzimy, że musimy odwrócić dwie strzałki i ich znaki. W nowym schemacie poniżej prądy o natężeniach

- 4

+ 1

wypływają z węzła.

Krok 2. Zastosuj prądowe prawo Kirchhoffa. Używamy prawa w formie stwierdzenia, "Suma wszystkich prądów wypływających z węzła wynosi zero." Zsumuj więc natężenia wszystkich "wypływających" prądów i przyrównaj tę sumę do zera,

- 4 + 6 + i_{3} + 1 + (- 3) = 0

Wyznacz

i_{3}

i_{3} = - [- 4 + 6 + 1 + (- 3)]

i_{3} = 0 mA

W gałęzi oznaczonej jako

i_{3}

nie płynie prąd.

Napięcie dokoła pętli

Poniższy obwód z czterema opornikami i źródłem napięciowym możemy rozwiązać korzystając z prawa Ohma. Następnie przyjrzymy się rozwiązaniu i poczynimy pewne obserwacje. Najpierw wyznaczymy natężenie prądu, a następnie napięcia na każdym z oporników.

Widać, że mamy do czynienia z obwodem szeregowym. Przez wszystkie elementy przepływa więc prąd o tym samym natężeniu

i

. Wartość natężenia

i

wyznaczymy po wyznaczeniu zastępczego oporu szeregowego:

R_{s z e r e g} = 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 Ω

Natężenie prądu wyznaczymy z prawa Ohma:

i = \frac{V}{R_{s e r i e s}} = \frac{20 V}{1000 Ω} = 0,020 A = 20 mA

Znamy już więc natężenie prądu. Teraz wyznaczymy napięcia na czterech opornikach. Wróćmy do pierwszego schematu i dodajmy oznaczenia napięć na każdym z pięciu elementów obwodu:

Stosując prawo Ohma jeszcze czterokrotnie, wyznaczymy napięcie na każdym z oporników:

v = i R

v_{R1} = 20 mA \cdot 100 Ω = + 2 V

v_{R2} = 20 mA \cdot 200 Ω = + 4 V

v_{R3} = 20 mA \cdot 300 Ω = + 6 V

v_{R4} = 20 mA \cdot 400 Ω = + 8 V

Znamy już natężenie prądu i wszystkie napięcia. Obwód jest więc rozwiązany.

Na schemat możemy nanieść napięcia, zwane również napięciami elementów. Węzłom nadamy też nazwy od

a

e

, tak, byśmy mogli odnosić się do nich.

Zróbmy szybkie sprawdzenie. Sumując napięcia wszystkich oporników dostajemy:

2 V + 4 V + 6 V + 8 V = 20 V

Napięcia oporników sumują się do napięcia źródła. Ma to sens, a w dodatku potwierdza nasze obliczenia.

Teraz zrobimy to samo - zsumujemy napięcia. Zastosujemy nieco inną procedurę. Podążymy "dokoła pętli". Nie odkrywamy niczego nowego, po prostu przestawiamy wyrazy w tym samym obliczeniu.

Procedura sumowania napięć elementów dokoła pętli

Krok 1: Wybierz węzeł początkowy.

Krok 2: Wybierz kierunek ruchu wokół pętli (zgodnie albo przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Krok 3: Poruszaj się dokoła pętli.

Kolejne elementy dodawaj do rosnącej sumy zgodnie z kilkoma zasadami:

Po napotkaniu nowego elementu, zwróć uwagę na jego znak od strony na którą trafisz.
Jeśli znak jest dodatni, na elemencie odnotujemy spadek napięcia. Odejmij napięcie tego elementu.
Jeśli znak jest ujemny, na elemencie odnotujemy skok napięcia. Dodaj wartość napięcia na tym elemencie.
Niektóre podręczniki uczą nieco innych reguł dodawania kolejnych elementów. Są one równoważne do naszych i dają dokładnie tę samą odpowiedź.
Po napotkaniu kolejnego elementu, zwróć uwagę na jaki znak trafisz.
Jeśli znak jest dodatni, dodaj wartość napięcia.
Jeśli znak jest ujemny, odejmij wartość napięcia.
W tym zestawie reguł nie posługujemy się pojęciami skoku/spadku napięcia, ale może być dla Ciebie łatwiejsza do zapamiętania. Ważniejsze od tego, którą zasadę wybierzemy, jest zachowanie konsekwencji w tym wyborze.

Krok 4: Kontynuuj dokoła pętli póki nie wrócisz do początkowego węzła i uwzględniaj wszystkie elementy na jakie trafisz.

Zastosowanie procedury w pętli

Wykonajmy procedurę krok po kroku.

Zaczynamy od lewego dolnego rogu, w węźle $a$ ‍.
Ruszamy zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Pierwszym elementem, który napotkamy jest źródło napięciowe. Dotrzemy do niego od strony ujemnego potencjału, więc doświadczymy skoku napięcia. Zgodnie z trzecim krokiem procedury, sumowanie zaczniemy od napięcia źródła, biorąc je ze znakiem dodatnim.
‍

v_{p ę t l a} = + 20 V

, po przejściu przez źródło trafimy do węzła

b

Kolejnym elementem jest opornik o wartości

100 Ω

. Trafiamy na dodatni zacisk. Zgodnie z procedurą, wartość napięcia odejmiemy więc od sumy.

v_{p ę t l a} = + 20 V - 2 V

, przez opornik

100 Ω

do węzła oznaczonego

c

Idziemy dalej. Następny jest opornik o wartości

200 Ω

. Znów trafimy na dodatni zacisk, więc napięcie ponownie odejmiemy od sumy.

v_{p ę t l a} = + 20 V - 2 V - 4 V

, przez opornik

200 Ω

do węzła

d

Jeszcze dwa elementy i zamkniemy pętlę,

v_{p ę t l a} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V

, przez opornik

300 Ω

do węzła

e

v_{p ę t l a} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V

, po napotkaniu opornika

400 Ω

(Sprawdź, czy na ostatnich dwóch elementach zgadzają się znaki.)

Koniec. Wróciliśmy do węzła $a$ ‍. Ile wynosi suma $v_{p ę t l a}$ ‍?
‍

v_{p ę t l a} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V = 0

Napięcia dokoła pętli sumują się do zera. Zaczęliśmy i skończyliśmy w tym samym węźle, więc napięcie początkowe i końcowe są jednakowe. W trakcie "spaceru" natknęliśmy się na skoki i spadki napięcia, które wzajemnie się znoszą po powrocie do miejsca startu. Dzieje się tak, gdyż siła elektryczna jest zachowawcza. Wróciwszy do tego samego punktu nie doświadczymy skoku ani spadku całkowitej energii.

Zrobimy jeszcze jeden przykład. Tym razem posługiwać będziemy się nazwami zmiennych zamiast wartościami parametrów. Na poniższy schemat, który już dobrze znamy, naniesiono oznaczenia węzłów i napięć. Bieguny napięć oznaczone są w sposób, który mógłbyś się nie spodziewać. Wszystkie strzałki wskazują ten sam kierunek dokoła pętli. Taka konwencja pozwoli nam zobaczyć pewną fajną cechę pętli.

Przejdźmy się dokoła pętli, sumując napotkane napięcia. Zaczynamy w węźle

a

w lewym dolnym rogu. Poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (to arbitralny wybór, mamy tu pełną dowolność).

Po wyjściu z węzła

a

, napotykamy ujemny zacisk źródła napięciowego. Następuje więc skok napięcia o wartości

v_{a b}

woltów. W takim razie wyraz z tym napięciem będzie miał znak dodatni.

Kontynuujemy ruch po pętli, z węzła

b

c

d

e

i wracamy do węzła

a

, w międzyczasie dodając napięcia do naszej sumy. Bieguny wybrano tak, że na każdym oporniku trafiamy na znak

-

. Wszystkie elementy wchodzą do sumy ze znakiem

+

. Ostatecznie nasza suma wygląda następująco:

+ v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4}

Zastanówmy się, jaka może być wartość tej sumy.

Pętla zaczyna się i kończy w tym samym węźle, więc początkowe i końcowe napięcie jest jednakowe. Przeszliśmy całą pętlę sumując napięcia i skończyliśmy z tym samym napięciem. Napotkane wartości napięć muszą więc sumować się do zera. W naszym przykładzie możemy to wyrazić przez:

v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4} = 0

Przypuśćmy, że suma napięć dokoła pętli nie sumowałaby się do zera. Doszlibyśmy wtedy do absurdalnych wniosków.

Zastanówmy się, co by było, gdybyśmy po przejściu dokoła pętli otrzymywali

+ 1

wolt. Oznaczałoby to, że po odbyciu spaceru z węzła

a

, dokoła pętli z powrotem do węzła

a

, napięcie jakimś sposobem podniosłoby się o

1

wolt ponad poziom z którego zaczęliśmy (jak to?!). Po wykonaniu drugiego okrążenia, napięcie w węźle

a

wzrosłoby już o

2

wolty (ale jak to?!). Tak nie może być.

Napięcie w węźle

a

nie może się zmieniać za każdym razem, gdy w głowie policzysz napięcie dokoła pętli. Suma napięć dokoła pętli musi wynosić zero.

Napięciowe prawo Kirchhoffa zgrabnie opisuje zachowanie się napięć dokoła pętli.

Napięciowe prawo Kirchhoffa

Napięciowe prawo Kirchhoffa brzmi: Suma napięć w dowolnej pętli obwodu elektrycznego wynosi zero.

Napięciowe prawo Kirchhoffa można zapisać w ogólnej postaci równaniem:

\sum_{n} v_{n} = 0

gdzie suma po indeksach

n

przebiega po wszystkich elementach w pętli.

Inne sformułowanie napięciowego prawa Kirchhoffa brzmi: W dowolnej pętli, suma skoków napięć równa jest sumie spadków napięć,

\sum v_{s k o k} = \sum v_{s p a d e k}

Napięciowe prawo Kirchhoffa ma kilka przyjemnych własności:

Pętlę możesz rozpocząć w dowolnym węźle. Po przejściu dokoła pętli z powrotem do początkowego węzła, suma wszystkich napięć wyniesie będzie równa zeru.
Prawo obowiązuje niezależnie od kierunku sumowania. Nie ma znaczenia, czy sumę wykonasz zgodnie czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Jeśli w obwodzie występuje wiele pętli, napięciowe prawo Kirchhoffa obowiązuje dla każdej z nich.

Same dodatnie napięcia?

Być może zastanawiasz się, jak to możliwe by istniał obwód, w którym na wszystkich elementach występuje dodatnie napięcie, skoro mają sumować się do zera. Nie ma żadnego problemu. Strzałki napięć i oznaczenia biegunów definiują nam jedynie kierunek odniesienia. Po zanalizowaniu obwodu, jeden lub więcej elementów wykaże ujemne napięcie względem strzałki, co zawsze wyjdzie w trakcie obliczeń.

Napięciowe prawo Kirchhoffa - sprawdzenie wiedzy

Zadanie 4: Ile wynosi $v_{R 3}$ ‍?

Przypomnienie: Sprawdź znak na każdym elemencie na który trafisz "chodząc" dokoła obwodu.

Do rozwiązania tego zadania skorzystaj z napięciowego prawa Kirchhoffa,

\sum_{n} v_{n} = 0

Wybierz węzeł, w którym rozpoczniemy. Może to być

A

albo dowolny inny. Poruszać będziemy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Strzałki są nieuporządkowane. Nie wskazują tego samego kierunku wokół pętli. Rozpisując równanie musimy bardzo uważnie sprawdzać biegunowość napięcia na każdym elemencie. Pamiętaj o procedurze sumowania napięć elementów dokoła pętli. Powie nam ona, jaki znak przypisać do każdego kierunku strzałki.

+ 15 + (- 5) + (- 3) + (- v_{R3}) + (- 1) = 0

Najtrudniejszą sprawą jest zadbanie, żeby znaki się zgadzały. Jest to główna umiejętność, którą trzeba posiadać chcąc stosować prawa Kirchhoffa.

+ 15 - 5 - 3 + (- 1) = v_{R3}

v_{R3} = + 6 V

Sprawdź kierunek strzałki napięcia przy oporniku R3. Skierowana jest ku górze, z węzła

e

do węzła

d

. Dodatnia wartość

v_{R3}

oznacza, że potencjał w węźle

d

jest o

6

wolt wyższy niż w węźle

e

Dodatkowe ćwiczenie: Spróbuj rozwiązać ten sam przykład poruszając się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Powinna wyjść ta sama odpowiedź.

Podsumowanie

Poznaliśmy się z dwoma nowymi znajomymi.

Natężenia prądów wpływających do węzła możemy rozpisać stosując prądowe prawo Kirchhoffa,

\sum_{n} i_{n} = 0

Dla elementów połączonych w pętlę stosujemy napięciowe prawo Kirchhoffa,

\sum_{n} v_{n} = 0

Naszych nowych znajomych czasem nazywa się ich inicjałami, PPK i NPK.

Nauczyliśmy się również, jak ważne jest pilnowanie znaków przy poszczególnych natężeniach prądu i napięciach. Każde sprawdzenie jest żmudnym procesem, w którym kluczowe jest dbanie o szczegóły. Jest to główna cecha dobrego elektrotechnika.

W istocie prawa Kirchhoffa są przybliżeniami, które można wyprowadzić z równań Maxwella dla fali elektromagnetycznej. Przybliżenie ma zastosowanie, gdy wielkość elementów jest znacznie mniejsza od długości fali sygnałów przepływających przez obwód i stosuje się je praktycznie do wszystkich obwodów, z którymi będziesz mieć do czynienia rozpoczynając naukę elektrotechniki.

Jeśli chcesz dowiedzieć się czegoś więcej o tym przybliżeniu, mogę polecić Ci dwie książki:

"Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits", by Anant Agarwal and Jeffery H. Lang, Elsevier Inc, 2005, Appendix 2A.

"The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits, 2nd Edition, by Thomas H. Lee, Cambridge University Press, Chapter 6, Distributed Systems.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Elektrotechnika

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2

Prądy wpływające do węzła

Prądowe prawo Kirchhoffa

Prądowe prawo Kirchhoffa - sprawdzenie wiedzy

Napięcie dokoła pętli

Procedura sumowania napięć elementów dokoła pętli

Zastosowanie procedury w pętli

Napięciowe prawo Kirchhoffa

Same dodatnie napięcia?

Napięciowe prawo Kirchhoffa - sprawdzenie wiedzy

Podsumowanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?