If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Liniowość

Podwoiwszy napięcie na oporniku, możemy spodziewać się dwukrotnie wyższego natężenia prądu. O oporniku mówimy, że jest elementem liniowym. Kondensatory i cewki też są liniowe. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Wprowadzenie

Liniowość jest matematyczną własnością o ogromnym wpływie na projektowanie układów elektronicznych. Sama koncepcja jest prosta, ale jej konsekwencje mają, w naszej dziedzinie, bardzo duże znaczenie. Najpierw omówimy znaczenie liniowości jako matematycznego konstruktu. Następnie zastosujemy go do obwodów elektronicznych.

Do czego zmierzamy

Funkcja jest liniowa, gdy spełnia poniższe własności:
Jednorodność (skalowalność): f(ax)=af(x)
Addytywność: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
Każda funkcja jednorodna, której wejście i wyjście stanowią pojedyncze liczby, jest automatycznie addytywna. Oporniki, kondensatory i cewki są liniowe, gdyż spełniają własność jednorodności.

Liniowość

Pojęcie liniowości odnosi się do matematycznej własności jednorodności. Rozważmy dwie pokrewne wielkości fizyczne, na przykład szybkość z jaką się poruszasz i odległość, którą możesz pokonać. Podwoiwszy są szybkość, podwoisz przebyty dystans. Tak samo będzie miało miejsce z trzykrotnością Twojej szybkości. O wielkościach, które zachowują podobną relację między sobą mówimy, że są względem siebie liniowe. Przykładem, który jest zwykle spełniony jest koszt jednostkowy przedmiotów. Jeśli zeszyt kosztuje 2 zł, na dziesięć zeszytów wydamy 20 zł.
W elektrotechnice, liniowa zależność łączy napięcie i natężenie prądu w idealnym oporniku. Podwoiwszy napięcie, możemy spodziewać się dwukrotnie wyższego natężenia prądu. Mówimy więc, że idealny opornik jest elementem liniowym.

Jednorodność (skalowalność)

Opiszmy skalowalność wielkości w sposób matematyczny. Wcześniej pisaliśmy o podwajaniu i potrajaniu pewnych wielkości. Te relacje możemy zapisać w postaci funkcyjnej: f(2x)=2f(x), f(3x)=3f(x). W ogólności oznacza to, że spełnione jest równanie:
f(ax)=af(x).
W matematycznym języku ta własność nazwana została jednorodnością.
Jednorodność zachowują funkcje, których wykres wygląda jak prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. Niech y=f(x)=2x.
Dla x=2, y=22=4.
Podwoiwszy x z wartości 2 do 4 otrzymamy y=24=8.
Podwojenie x niesie za sobą w sposób ścisły podwojenie wartości y.
Co istotne, skoro wykres f(x) jest prostą, czynnik skali a nie zależy od wartości x.
Dla funkcji przyjmujących dowolny inny kształt, jak na przykład y=x2, y=1/x, czy y=ex, czynnik skali nie jest zachowany dla każdego x, ale zależy od wartości x.
Przyjmijmy, na przykład, y=x2/16.
Dla x=4, y=42/16=1. Zatem czynnik skali łączący x z y wynosi 1/4.
Dla x=8, y=82/16=4, więc czynnik skali wynosi 1/2.
Dla dowolnej funkcji, której wykres nie jest prostą, skalowanie (wzmocnienie) nie jest stałe, lecz zależy od wartości x podanej na wejściu.
Jest to główny powód, dla którego pożądaną cechą wzmacniaczy jest ich liniowość. Chcąc z małego sygnału zrobić duży, najlepiej jest, gdy każda część sygnału jest jednorodnie przeskalowana o ten sam czynnik. Dzięki temu sygnał wyjściowy jest wiernie odtworzonym sygnałem wejściowym pomnożonym o stały czynnik.

Addytywność

Możemy wykazać, że każda relacja zachowująca własność liniowości jest również addytywna. Ogólne wyrażenie na funkcję wykazującą liniowość ma postać prostej o czynniku skali a:
f(x)=ax.
Jako argument podamy sumę dwóch funkcji wejściowych (x1+x2). Wtedy:
f(x1+x2)=a(x1+x2).
Skorzystamy z własności rozdzielności,
f(x1+x2)=ax1+ax2.
Wyrazy po prawej stronie równania możemy zapisać równoważnie jako:
ax1=f(x1)ax2=f(x2),
doprowadzając nas do własności addytywności:
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2).
Możemy użyć jej w sprytny sposób.
Przypuśćmy, że mamy do dyspozycji dwa sygnały wejściowe x1 oraz x2. Każdy z nich podajemy jako argument liniowej funkcji f(x). Na wyjściu otrzymamy, co oczywiste, f(x1) i f(x2).
Po dodaniu sygnałów wejściowych razem, x1+x2, oraz podaniu ich sumy do f(x), na wyjściu otrzymamy f(x1+x2).
Zobaczmy, co się teraz stanie. Korzystając z tego, że f(x) określiliśmy jako zachowującą liniowość, sygnał wyjściowy po podaniu na wejściu x1+x2 możemy zapisać również inaczej, f(x1)+f(x2).
Addytywność funkcji liniowych jest nazywana superpozycją. W analizie obwodów stosuje się metodę o tej samej nazwie. Superpozycja jest kluczowym elementem decydującym o geniuszu metody prądów oczkowych oraz wielu innych w pozostałych dziedzinach technicznych, w szczególności w analizie sygnałów.

Liniowość elementów obwodów

Zacznijmy od opornika. Można go opisać matematycznie za pomocą operacji, która wejściowe napięcie przekształca w prąd o pewnym natężeniu.
Możemy sprawdzić, czy opornik jest elementem liniowym sprawdzając czy jego zachowanie wykazuje własność skalowalności. Możemy zapisać prawo Ohma w postaci funkcji:
i=f(v)=1Rv.

Skalowalność opornika

Jeśli podwoimy napięcie na oporniku, natężenie prądu również ulegnie podwojeniu.
Jeśli przez opornik puścimy prąd o czterokrotnie wyższym natężeniu, napięcie również wzrośnie czterokrotnie.

Addytywność opornika

Podając na wejściu opornika napięcie 1V+3V, otrzymamy prąd o natężeniu równym
1V+3VR=4VR
lub
1VR+3VR=4VR.
Opornik wykazuje skalowalność (automatycznie wykazuje więc addytywność).
Opornik jest elementem liniowym.
Każdy rzeczywisty opornik posiada pewien ograniczony zakres, w którym zachowuje się w ten sposób. Jeśli moc (iv) przewyższy wytrzymałość opornika, ulegnie przegrzaniu a wartość jego oporu może się zmienić, o ile nie ulegnie trwałemu uszkodzeniu. Idealny opornik działa niezależnie od wartości i i v, czyli jest elementem liniowym, zawsze i wszędzie.

Czy kondensatory i cewki są liniowe?

Prawa rządzące zachowaniem kondensatora i cewki wyrażają się równaniami:
i=Cdvdt
i
v=Ldidt.
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że są to równania prostych. Jednak nimi są, tylko że argumentem funkcji nie jest v albo i, tylko dv/dt albo di/dt:
i=f(dvdt)=Cdvdt
i
v=f(didt)=Ldidt.
Gdy na poziomej osi znajdzie się dv/dt, a na pionowej i, charakterystyka kondensatora wygląda jak linia prosta. Współczynnik kierunkowy jest równy C.
Podobnie ma się z cewką. Gdy na poziomej osi znajdują się kolejne wartości di/dt, a na pionowej v, to charakterystyka cewki wygląda jak linia prosta o współczynniku kierunkowym L.
Idealne kondensatory i idealne cewki są elementami liniowymi.
Mamy więc już wszystkie trzy: R L C.
Z tych trzech elementów liniowych możemy zbudować wiele ciekawych funkcji.

Dioda jako element nieliniowy

Warto poświęcić chwilę na omówienie elementu, który nie jest liniowy. Ma to na celu podkreślenie ich odmienności względem przywołanych wcześniej elementów. Dioda jest nieliniowym urządzeniem półprzewodnikowym.
Diody omówimy szczegółowo w jednej z kolejnych lekcji. Na razie spójrzmy tylko na jej krzywą i-v jako przykład urządzenia nieliniowego:
Krzywa i-v diody krzemowej.
Powyższa krzywa i-v określa charakterystykę diody. Ewidentnie nie wygląda jak linia prosta. Dioda jest więc elementem nieliniowym. Nieliniowość wykazują również inne urządzenia półprzewodnikowe, jakimi są tranzystory.

Dlaczego liniowość jest tak ważna?

Odpowiedź: Przekształcenia matematyczne są wtedy proste!
Dla obwodów z elementami liniowymi można znaleźć dokładne rozwiązania. Istnieje cała gałąź matematyki zajmująca się funkcjami zachowującymi własność liniowości. Nazywamy ją algebrą liniową.
Przykładami jej genialności są: Prawa Kirchhoffa, które działają dzięki liniowości, podobnie jak metoda potencjałów węzłowych oraz metoda prądów oczkowych.

Funkcje i elementy nieliniowe

W ogólności, obwody z elementami zachowującymi się w sposób nieliniowy nie dają rozwiązać powyższymi metodami. Nie udało się nam, jako ludzkości, wymyślić ogólnej metody znajdowania dokładnych rozwiązań nieliniowych równań i obwodów.
Każdy nowy rodzaj obwodu, z jakim się zetkniesz, wymaga zastosowania technik odpowiednich do jego rozwiązania. Zwyczajowe podejście do rozwiązania obwodu nieliniowego polega na wzniesieniu się na wyżyny kreatywności tak, by jednak opisać jako liniowy, choćby w niewielkim zakresie parametrów. Stosowane jest ono w takich metodach jak "przybliżenie funkcji przedziałami liniowej" albo w "modelu małosygnałowym".

Podsumowanie

Funkcja zachowuje się liniowo, gdy spełnia poniższe własności:
Jednorodność (skalowalność): f(ax)=af(x)
Addytywność: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
Dla rzeczywistych x i a, w odróżnieniu od wektorów albo macierzy, te dwie własności oznaczają to samo i wystarczy, że sprawdzimy tylko jedną z nich.
Oporniki, kondensatory i cewki są elementami liniowymi, gdyż zachowują jednorodność.

Liniowość wyrażona słowami

  1. Przeskalowanie wejścia o czynnik a przeskalowuje wyjście o ten sam czynnik a.
  2. Dodanie dwóch wejść daje ten sam wynik co zastosowanie funkcji a następnie zsumowanie wyjść.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.