If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Metoda prądów oczkowych

Metoda prądów oczkowych służy do rozwiązania obwodu przez rozpisanie równania napięciowego prawa Kirchhoffa dla prądów płynących dokoła oczek obwodu. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Wprowadzenie

Metoda prądów oczkowych jest kolejną ustrukturyzowaną metodą rozwiązania obwodów (pierwszą była metoda potencjałów węzłowych). Sprowadza się, tak jak każde inne zadanie w analizie obwodów, do rozwiązania 2E niezależnych równań, gdzie E jest liczbą elementów obwodu. Metoda prądów oczkowych pozwala na efektywną analizę. Uzyskana liczba równań do rozwiązania jest względnie mała.
Metoda prądów oczkowych opiera się na prądowym prawie Kirchhoffa (PPK).
Metoda prądów pętlowych jest nieco zmodyfikowanym wariantem metody prądów oczkowych.

Pętle i oczka

W metodzie prądów oczkowych posługujemy się dwoma specyficznymi terminami. Są to pętla i oczko.
Pętlę stanowi każda zamknięta ścieżka dokoła obwodu. Aby narysować pętlę, wybierz zacisk dowolnego elementu jako początkowy węzeł i prowadź ścieżkę przez kolejne elementy dopóki nie wrócisz do niego. Pętla może przejść przez dany element tylko jeden raz (dzięki czemu unikamy stworzenia pętli, która wygląda jak ósemka). W powyższym obwodzie narysowano trzy pętle, dwie oznaczone ciągłymi liniami, I i II oraz jedna oznaczona linią przerywaną III biegnąca dokoła całego obwodu.
Śledząc przebieg pętli w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara zobaczymy, że przechodzą one kolejno przez elementy:
Pętla I:V1 - R1 - R3Pętla II:R3 - R2 - V2Pętla III: (linia przerywana)V1 - R1 - R2 - V2
Oczko jest nieco zawężonym rodzajem pętli. Jest to pętla, która nie zawiera w sobie żadnych innych pętli. W powyższym obwodzie pętle I i IIoczkami, gdyż wewnątrz ich nie znajdziemy żadnych mniejszych pętli. Pętla oznaczona przerywaną linią nie jest oczkiem, bo zawiera w sobie dwie mniejsze pętle.
W metodzie prądów oczkowych oczka służą nam do wygenerowania równań NPK.

Prąd pętlowy

Zdefiniujemy teraz nowe pojęcie, prąd pętlowy. (Możemy go również nazwać prądem oczkowym.) Do tej pory mówiąc o prądach, zwykliśmy posługiwać się określeniem prąd w elemencie (płynący przez element obwodu). Używając zwrotu prąd pętlowy chodzi nam o wyimaginowany prąd płynący dokoła pętli. Może się to wydawać dziwne, ale zapewniam, że zaraz wszystko się wyjaśni. Dla poniższego obwodu zdefiniujemy prądy pętlowe płynące w oczkach I i II o natężeniach, odpowiednio, iI i iII. Dodatni kierunek przepływu prądu jest zgodny z narysowanymi strzałkami.
Ze schematu jasno wynika, że prąd o natężeniu iI płynie przez źródło V1 i opornik R1, a prąd o natężeniu iII płynie przez opornik R2 i źródło V2. Ale co dzieje się z prądem na oporniku R3?
Przyjrzyjmy się bliżej opornikowi R3 zajmującemu miejsce na środkowej gałęzi obwodu. Ile wynosi natężenie prądu płynącego przez R3?
Zobaczmy, jak narysowano prądy pętlowe. Wyglądają, jakby oba płynęły przez R3. Czy to możliwe? Owszem, bo możemy powołać się na bardzo ważną koncepcję nazywaną zasadą superpozycji.

Zasada superpozycji

Superpozycja jest bardziej wyrafinowanym określeniem na sumowanie. W przypadku opornika R3, zasada superpozycji mówi nam, że całkowite natężenie prądu płynącego przez niego jest sumą natężeń dwóch prądów pętlowych, iI oraz iII,
+iR3=+iIiII.
Dwa prądy pętlowe tworzą superpozycję (nakładają się na siebie) dając w rezultacie wypadkowy prąd płynący przez opornik R3. Kierunek strzałki jest ten sam co w przypadku prądu oczkowego I, więc przy jego natężeniu iI w równaniu superpozycji występuje znak +. Strzałka prądu oczkowego II skierowana jest przeciwnie, więc przy natężeniu pradu iII pojawia się znak .

Liniowość

Zasada superpozycji może być stosowana do idealnych oporników, które z definicji są liniowe. Własność ta oznacza również, że jeśli pomnożymy napięcie przez pewną stałą a, natężenie prądu również ulegnie zwielokrotnieniu o tę samą stałą:
v=iR,
av=aiRav=aiR.
Rzeczywisty opornik ulegnie spaleniu jeśli wartość a będzie za wysoka, ale idealny opornik będzie wykazywał liniową charakterystykę niezależnie od tego, jak wysokie będzie a.
Dzięki liniowości możemy skorzystać z zasady superpozycji, która sprowadza się w naszej sytuacji do tego, że może występować kilka prądów pętlowych przepływających przez jeden element obwodu. Natężenia każdego z tych prądów możemy traktować jako zmienne niezależne. A to oznacza, że do rozwiązania obwodu możemy skorzystać z metody prądów pętlowych!
Więcej informacji znajduje się w głównym artykule poświęconym tematowi liniowości.

Zadania - prądy pętlowe

zadanie 1
Wyznacz natężenie prądu iRx.
iRx=
mA.

zadanie 2
Wyznacz natężenie prądu iRy.
iRy=
mA.

Opisana poniżej metoda prądów oczkowych stosowana jest do płaskich obwodów (takich, które można narysować na płaszczyźnie, bez krzyżujących się przewodów). Większość obwodów z którymi się spotkasz ma tę własność. Do tych, które są niepłaskie (i można je narysować tylko z krzyżującymi się przewodami), stosuje się nieco zmodyfikowaną wersję pod nazwą metody prądów pętlowych. Większość procedury jest identyczna, więc najpierw prześledźmy metodę prądów oczkowych dla płaskich obwodów. Metodę prądów pętlowych omówimy w kolejnym artykule.

Metoda prądów oczkowych

Podstawowymi wielkościami w analizie obwodów przy pomocy metody prądów oczkowych są natężenia prądów pętlowych płynących dokoła oczek obwodu. Analiza opiera się na kolejno przedstawionych krokach:
  • Oznaczenie oczek, czyli "okienek" w obwodzie.
  • Oznaczenie prądów w każdym z oczek systematycznie zgodnie z przyjętym kierunkiem (zgodnie albo przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).
  • Rozpisanie równań napięciowego prawa Kirchhoffa dokoła każdego z oczek.
  • Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie natężeń wszystkich prądów oczkowych.
  • Wyznaczenie parametrów (napięcia i natężenia prądu) interesujących nas elementów obwodu zgodnie z prawem Ohma.
Oto obwód, na którym zademonstrujemy metodę prądów oczkowych:

Oznaczenie oczek

W naszym obwodzie są dwa oczka. Przypiszemy im dwa prądy pętlowe, których natężenia nazwiemy iI i iII. To nasze zmienne niezależne. Co ważne, kierunek prądów pętlowych jest jednakowy. Oba płyną w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
By defining a loop current in every mesh, you will have enough independent equations to solve the circuit.Po zdefiniowaniu prądów pętlowych dla każdego z oczek mamy do dyspozycji liczbę zmiennych niezależnych wystarczającą do rozwiązania obwodu.

Rozpisanie równań napięciowego prawa Kirchhoffa (NPK) dokoła oczek

Pierwsza umiejętność wynikająca z poznania metody prądów oczkowych - bazgranie po schematach!

Przymierzając się do rozpisania równań NPK, oznaczamy bieguny każdego z elementów (pomarańczowe znaki + i ) oraz natężenia prądów płynących przez elementy (zielone strzałki), zgodnie z konwencją znaku dla elementów pasywnych. Na niebieskie pętle naniosłem jeszcze dodatkowe strzałki, tak by od razu widzieć kierunek przepływu prądu przez każdy element.
  • W pierwszej kolejności oznaczymy natężenia prądów płynących przez elementy (zanim zajmiemy się napięciami). Warto postarać się, aby strzałki tych prądów były zbieżne z kierunkiem najbliższego prądu oczkowego. Nie zawsze się to udaje. W naszym przykładzie kierunek iII jest przeciwny do prądu płynącego przez opornik 1kΩ. Nie musimy się tym przejmować, bo koniec końców wszystko się ułoży tak, jak trzeba.
  • Następnie zajmiemy się oznaczeniem biegunów w taki sposób, by prądy wpływały do elementów od strony dodatniego zacisku, zgodnie z konwencją dla elementów pasywnych.
Teraz rozpiszemy po jednym równaniu napięciowego prawa Kirchhoffa dla każdego oczek, czyli zsumujemy napięcia dokoła oczka i przyrównamy je do zera. Pracując kierujemy się kilkoma wytycznymi:
  • Po napotkaniu źródła napięciowego, do równania wpisujemy wartość jego napięcia.
  • Po napotkaniu opornika posługujemy się w pamięci prawem Ohma, wpisując napięcie jako iloczyn jego oporu i natężenia prądu pętlowego.
  • Po napotkaniu elementu, przez który płyną dwa prądy pętlowe, stosując prawo Ohma uwzględniamy różnicę ich natężeń.

Równanie dla oczka I -- krok po kroku

Rozpoczynając w lewym dolnym rogu schematu, poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara dokoła oczka I.
  • Pierwszym elementem, który napotykamy jest źródło napięciowe 5V. Trafiliśmy na jego ujemny biegun. Przechodząc przez źródło doświadczymy skoku napięcia, zatem wpisujemy wartość napięcia ze znakiem + -- +5V.
oczko I :+5V
  • Drugim elementem jest opornik 2kΩ. Napięcie na oporniku wynosi 2kΩiI (zastosowaliśmy prawo Ohma w pamięci). Kierunek strzałki prądu płynącego przez opornik jest zgodny z kierunkiem prądu oczkowego. Napotkany na zacisku znak + mówi nam, że doświadczymy spadku napięcia. Zatem wpisujemy wartość napięcia ze znakiem , 2000iI.
oczko I :+5V2000iI
  • Kolejnym elementem jest opornik 1kΩ. Spotykają się na nim dwa prądy oczkowe o natężeniach iI i iII. Wypadkowe natężenie prądu płynącego przez opornik wynosi (iIiII). Napięcie jest więc równe 1kΩ(iIiII). Znaki na zaciskach mówią nam, że ponownie doświadczamy spadku napięcia. Ostatecznie do równania wpisujemy 1kΩ(iIiII).
oczko I :+5V2000iI1000(iIiII)
  • Przechadzka po pętli I jest skończona. Pozostało nam przyrównać otrzymaną sumę do zera:
oczko I :+5V2000iI1000(iIiII)=0
Podsumowanie oczka I w jęzku NPK:

Równanie dla oczka II -- krok po kroku

Rozpoczynając na dolnym zacisku opornika 1kΩ, poruszamy się dokoła oczka zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
  • Pierwszym elementem jest opornik 1kΩ, przez który płyną dwa prądy oczkowe. Wypadkowe natężenie prądu wynosi (iIiII). Trafiliśmy na ujemny biegun, doświadczamy więc skoku napięcia. Do równania wpisujemy wyraz +1000(iIiII).
oczko II :+1000(iIiII)
  • Kolejnym elementem, na który trafiamy w prawym górnym rogu schematu, jest opornik 2kΩ. Płynie przez niego tylko jeden prąd oczkowy o natężeniu iII. Występuje spadek napięcia, więc do równania wpisujemy 2000iII.
oczko II :+1000(iIiII)2000iII
  • Ostatnim napotkanym elementem jest źródło 2V. Źródła napięciowe są szczególnym przypadkiem. Do równania po prostu wpisujemy ich napięcie. Ponownie doświadczamy spadku napięcia, więc kolejny wyraz równania wynosi 2V.
oczko II :+1000(iIiII)2000iII2V
  • Zwieńczeniem jest przyrównanie sumy do zera:
oczko II :+1000(iIiII)2000iII2V=0
Podsumowanie oczka II w jęzku NPK:

Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie natężeń prądów oczkowych

Wyznaczone przed chwilą równania mają postać:
oczko I :+5V2000iI1000(iIiII)=0,
oczko II :+1000(iIiII)2000iII2V=0.
Rozwiązanie rozpoczniemy od wymnożenia wszystkich wyrazów i przeniesienia stałych na prawą stronę:
oczko I :2000iI1000iI+1000iII=5,
oczko II :+1000iI1000iII2000iII=+2.
Grupujemy podobne wyrazy aby otrzymać uporządkowany układ równań:
oczko I :3000iI+1000iII=5,
oczko II :+1000iI3000iII=+2.
Spróbujemy wyeliminować z równań iI przez przemnożenie drugiego równania przez 3 i dodaniu do pierwszego. Po przemnożeniu równania oczka II otrzymujemy:
oczko II :3[+1000iI3000iII=+2]=[+3000iI9000iII=+6].
Zsumujemy teraz nasze dwa równania. Wyrazy, w których występuje iI, skracają się, pozostawiając nas z samym wyrazem zawierającym iII:
oczko I :+[3000iI+1000iII=5]oczko II :+[+3000iI9000iII=+6]suma : 8000iII=+1iII=+18000iII=0,125mA
Natężenie prądu pętlowego iII ma ujemny znak. Oznacza to, że jego kierunek przepływu jest przeciwny do narysowanej niebieskiej strzałki.
Znamy teraz natężenie jednego z prądów oczkowych. Możemy wstawić tę wartość do któregokolwiek z równań. Spróbujmy z równaniem dla pętli I.
3000iI+1000iII=5
3000iI+1000(0,125mA)=5
3000iI=5+0,125
iI=4,8753000
iI=+1,625mA
Tym samym wyznaczyliśmy natężenia obu prądów pętlowych. Jesteśmy gotowi do tego, by wyznaczyć natężenia prądów i napięcia na poszczególnych elementach.

Wyznaczenie natężenia prądu i napięcia na elementach obwodu

Najłatwiejszym do wyznaczenia parametrem jest natężenie prądu płynącego przez elementu, przez które przechodzi tylko jeden prąd pętlowy. Są one sobie równe.
i2kΩ lewy=+iI=+1,625mA,
i2kΩ prawy=+iII=0,125mA.
Przez opornik 1kΩ płyną dwa prądy pętlowe. Aby wyznaczyć wypadkowe natężenie, korzystamy z zasady superpozycji.
i1kΩ=iIiII=+1,625mA(0,125mA)=+1,75mA.
Potencjał na węźle, w którym łączą się wszystkie trzy oporniki wyznaczamy stosując prawo Ohma dla opornika 1kΩ.
v1kΩ=1kΩ1,75mA=1,75V.
Gotowe! Skończyliśmy analizę obwodu metodą prądów oczkowych.

Wybór metody

Poznaliśmy dwie efektywne metody analizy obwodów -- metodę potencjałów węzłowych oraz metodę prądów oczkowych. Która z nich jest lepsza dla danego obwodu? Wyboru można dokonać porównując liczbę oczek z liczbą węzłów obwodu. Która z nich jest mniejsza? Zazwyczaj korzystnie jest wybrać metodę generującą mniejszą liczbę równań do rozwiązania. Jeśli liczby są sobie równe, wybierz po prostu tę metodę, którą opanowałeś lepiej.

Podsumowanie

Metoda prądów oczkowych jest alternatywą dla metody potencjałów węzłowych w rozwiązywaniu obwodów.
Następujące kroki składają się na procedurę metody prądów oczkowych:
  • Oznaczenie oczek.
  • Oznaczenie prądów w każdym z oczek zgodnie z przyjętym kierunkiem (zgodnie albo przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).
  • Rozpisanie równań napięciowego prawa Kirchhoffa dokoła każdego z oczek.
    • Napięcia źródeł przepisujemy bezpośrednio do równania.
    • Napięcia na opornikach wpisujemy w postaci Rioczko.
    • Jeśli dwa prądy oczkowe o przeciwnych kierunkach spotykają się w jednym oporniku, jego napięcie wpisujemy jako R(ioczko1ioczko2). (W postaci sumy zamiast różnicy jeśli kierunek prądów oczkowych jest zbieżny).
    • Przyrównanie sumy napięć do zera (jeśli potrzebujesz pomocy, zajrzyj do artykułu o NPK.)
  • Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie natężeń wszystkich prądów oczkowych.
  • Wyznaczenie parametrów (napięcia i natężenia prądu) interesujących nas elementów obwodu zgodnie z prawem Ohma.
Mając do czynienia z obwodem, który nie jest płaski, albo jeśli jedno źródło prądowe należy do kilku oczek, najlepiej jest posłużyć się metodą prądów pętlowych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.