Główna zawartość

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2

Lekcja 4: Odpowiedź swobodna i wymuszona

Charakterystyka i-v kondensatora w działaniu

Zademonstrowane zostanie użycie równania i-v kondensatora do wyprowadzenia napięcia na kondensatorze wpiętym do źródła prądowego. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Jednym spośród idealnych komponentów jest kondensator. Przyjrzymy się jego działaniu oraz wzajemnej zależności prądu i napięcia. Równanie

i

v

kondensatora można zapisać w dwóch postaciach:

i = C \frac{d v}{d t}

v = \frac{1}{C} \int_{0}^{T} i d t + v_{0}

C

oznacza fizyczną właściwość kondensatora, którą nazywamy pojemnością.

C

jest stałym czynnikiem wiążącym

i

d v / d t

.
Wartość

C

determinuje wartość natężenia prądu

i

wygenerowanego z określonej porcji

d v / d t

v_{0}

oznacza napięcie początkowe na okładkach kondensatora w chwili

t = 0

W tym artykule będziemy operować całkową postacią równania kondensatora. W naszym obwodzie kondensator o pojemności

1 μ F

podłączony jest do źródła prądowego.

Napięcie przed, w trakcie i po impulsie prądu

Do kondensatora

1 μ F

przykładamy prąd o natężeniu

2 mA

w impulsie o długości

3

milisekund. Zakładamy, że początkowe napięcie na okładkach kondensatora jest zerowe.

i (t) = {\begin{cases} 2 mA & ; 0 < t < 3 ms \\ 0 & ; w pozostałych przypadkach \end{cases}

C = 1 μ F

v_{0} = 0

Jak zmienia się w czasie napięcie na kondensatorze, $v (t)$ ‍?

Dzielimy czas na trzy interwały: przed, w trakcie oraz po pulsie prądu. Aby znaleźć

v (t)

, do każdego z nich zastosujemy równanie kondensatora w formie całkowej.

Przed impulsem

Przed impulsem,

(t < 0)

, prąd nie płynie, więc na kondensatorze

C

nie gromadzi się ładunek. Zatem

v_{(t < 0)} = 0

. Nie musieliśmy nawet użyć naszego równania.

W trakcie impulsu

Dla dowolnej chwili

T

w czasie trwania impulsu,

(0 < t < 3 ms)

, ładunek gromadzi się na kondensatorze

C

a napięcie rośnie. Przebieg napięcia

v

znajdziemy stosując równanie kondensatora.

v (T) = \frac{1}{C} \int_{0}^{T} i d t + v_{0}

i

jest stałe w czasie, wyciągniemy je więc przed całkę. Ponadto założyliśmy, że

v_{0}

jest zerowe, zatem możemy je pominąć.

v (T) = \frac{i}{C} \int_{0}^{T} d t

v (T) = \frac{i}{C} t |_{0}^{T}

v (T) = \frac{i}{C} T woltów

W czasie trwania impulsu prądu, przebieg napięcia ma postać funkcji liniowej o współczynniku nachylenia równym

i / C

. Jego wartość wynosi:

\frac{i}{C} = \frac{2 \cdot 10^{- 3} A}{1 \cdot 10^{- 6} F} = 2000 woltów/sekundę

Pod koniec pulsu, w czasie,

T = 3 ms

, napięcie na kondensatorze wzrasta do wartości:

v_{(T = 3 ms)} = 2000 woltów/s \cdot 0,003 s = 6 woltów

Po impulsie

Po zakończeniu impulsu

(3 ms < t)

- natężenie prądu spada do

0

, zatem ładunki przestają gromadzić się na kondensatorze. Skoro ruch ładunków jest wstrzymany, spodziewamy się, że napięcie pozostanie stałe. Potwierdzimy to stosując równanie kondensatora w czasie

t = 3 ms

przy napięciu początkowym

v_{3 ms} = 6 V

v = \frac{1}{C} \int_{3 ms}^{T} 0 d t + 6 = 6 woltów

Prąd nie płynie, ładunki nie zmieniają swoich położeń, a napięcie pozostaje niezmiennie na poziomie

6 V

Łącząc rozwiązania w poszczególnych interwałach otrzymujemy zależność napięcia od czasu

v (t)

Spróbuj sam. Przeciągając

zieloną

kropkę), ustalisz czas trwania i wysokość impulsu prądu.

Na ile sposobów można uzyskać końcowe napięcie $4 V$ ‍?
Co stanie się z napięciem $v (t)$ ‍ przy impulsie prądu o ujemnym natężeniu?

Ten obwód, zbudowany z kondensatora zasilanego źródłem prądowym, ma swoją żargonową nazwę - integrator.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.