Odpowiedź swobodna układu LC

Zobaczymy, co podpowie nam intuicja, jeśli chodzi o naturalną odpowiedź układu $\text{LC}$‍ zawierającego cewkę i kondensator.

Zwizualizujemy w wyobraźni to co się dzieje, a w kolejnym artykule prześledzimy formalne wyprowadzenie naturalnej odpowiedzi układu $\underset{―}{\text{LC}}$‍.

Obwody z dwoma elementami gromadzącymi energię (kondensatorami i cewkami) nazywamy układami drugiego rzędu. W takich układach obserwujemy cykliczne oscylacje napięć i natężeń prądu. Przedstawimy tu intuicyjny opis tych zjawisk.

Układy drugiego rzędu generują sinusoidalne przebiegi w obwodach elektrycznych.

Do tej pory rozważaliśmy układy $\underset{―}{\text{RC}}$‍ i $\underset{―}{\text{RL}}$‍ wykazujące odpowiedź pierwszego rzędu. W tych układach znajduje się po jednym elemencie gromadzącym energię ($\text{C}$‍ albo $\text{L}$‍). Odpowiedź naturalna układów pierwszego rzędu ma przebieg eksponencjalny, "zbiegający" do wartości końcowej. Na oporniku rozpraszana jest energia, która uprzednio zgromadzona była na drugim elemencie.

Rozważymy obwód z dwoma elementami gromadzącymi energię, bez opornika. Obwody z dwoma elementami magazynującymi energię nazywamy drugiego rzędu, gdyż opisują je równania różniczkowe drugiego rzędu.

W układach drugiego rzędu mamy po raz pierwszy styczność z układami, które zmieniają się cyklicznie (oscylują) w czasie. Klasycznym przykładem mechanicznego układu drugiego rzędu jest zegar z wahadłem. W elektronice podstawowym układem o takich właściwościach jest układ $\text{LC}$‍.

Chcielibyśmy wyznaczyć odpowiedź naturalną tego układu, czyli zachowanie układu pod nieobecność zewnętrznej siły, która by go napędzała. Odpowiedź naturalna zawsze stanowi istotny wkład do całkowitej odpowiedzi układu.

Przyjmijmy, że na kondensatorze istnieje pewne napięcie początkowe, co oznacza, że zgromadzony został na nim pewien ładunek $q$‍. W początkowej chwili zakładamy brak prądu płynącego przez cewkę i przez kondensator. Co zacznie się dziać, gdy obwód zostanie zamknięty i pozostawimy obwód "samemu sobie"? Spróbujemy przewidzieć zachowanie obwodu rozważając, co stanie się z początkowym ładunkiem $q$‍.

Wartość ładunku $q$‍ jest równa iloczynowi pojemności kondensatora i początkowego napięcia, $q=\text{C}v$‍. W warunkach odpowiedzi naturalnej, $q$‍ nie zmienia się w czasie. W początkowej chwili, cały ładunek tkwi jeszcze na kondensatorze.

Teraz zamykamy obwód i pozwalamy mu odpowiadać "naturalnie".

Początkowe natężenie prądu na cewce wynosi $0$‍. Nagle cewka zaczyna "dostrzegać" początkowe napięcie $v={\text{V}}_0$‍, które generuje prąd o przyrastającym natężeniu. Cewka zaczyna gromadzić energię w swoim polu magnetycznym.

Skąd bierze się ten prąd, albo, innymi słowy, przepływający ładunek? Oczywiście, jego źródłem jest kondensator.

Prąd wypływa z górnej okładki kondensatora, przepływa przez cewkę, dolną połowę obwodu i trafia na dolną okładkę. Napięcie i ładunek powiązane są ze sobą równaniem $q=\text{C}v$‍. Wobec tego, jeśli $q$‍ zaczyna maleć, to to samo dzieje się z $v$‍.

W pewnej chwili osiągniemy stan, w którym jednakowe ładunki zgromadzone są na górnej i na dolnej okładce. Napięcie na kondensatorze spada wobec tego do $0$‍.

Choć napięcie osiągnęło $0$‍, to energia zgromadzona w polu magnetycznym cewki podtrzymuje przepływ prądu w obwodzie. Natężenie prądu nie spada więc gwałtownie do $0$‍ po osiągnięciu napięcia $0$‍.

Prąd płynący przez cewkę podtrzymuje transport ładunku z górnej do dolnej okładki kondensatora. Więcej (dodatniego) ładunku zgromadziło się na dolnej okładce niż na górnej. Napięcie zmienia więc znak i staje się ujemne.

Coraz większa ilość ładunku zgromadzonego na dolnej okładce coraz silniej hamuje, poprzez odpychanie elektrostatyczne, dalszy przepływ ładunku. Natężenie prądu na cewce zaczyna spadać w kierunku $0$‍.

Po pewnym czasie cały ładunek przepłynie do dolnej okładki, a napięcie osiągnie skrajną ujemną wartość, równą co do modułu napięciu początkowemu. Przez chwilę ruch ładunku zostaje wstrzymany, a przebieg natężenia prądu przecina $0$‍.

Powyższy obrazek jest niemal identyczny do stanu wyjściowego. Natężenie prądu znów wynosi zero, a napięcie ma swoją skrajną wartość. Różnica tkwi w znaku napięcia, które teraz jest ujemne i co do wartości bezwzględnej równe napięciu początkowemu. Historia układu powtórzy się wstecz: teraz zamiast dolnej okładki ładować będzie się górna. Pełny cykl pracy układu wygląda następująco:

Szybkość powtarzania się oscylacji (częstotliwość) zależy od wartości $\text{L}$‍ i $\text{C}$‍. W następnym artykule zajmiemy się formalnym wyprowadzeniem odpowiedzi naturalnej układu $\text{LC}$‍. Umożliwi nam to dokładny wgląd w to co dzieje się z naszym układem.

Wahadło w ruchu jest mechanicznym odpowiednikiem układu $\text{LC}$‍.

Napięcie $v(t)$‍ odpowiada położeniu. Położenie wahadła mierzymy jako odległość od środka ruchu. Odległość wynosi $0$‍, $(v=0)$‍, gdy wahadło zwisa prosto w dół, a w skrajnych położeniach osiąga $v=+{\text{V}}_0$‍ albo $-{\text{V}}_0$‍.

Natężenie prądu $i(t)$‍ odpowiada prędkości. Wahadło porusza się najszybciej w środkowym punkcie $(i={\text{I}}_{max})$‍, a w chwilach, gdy wychylone jest najbardziej jest w chwilowym bezruchu, $(i=0)$‍.

Wartość początkowego napięcia $+{\text{V}}_0$‍ odpowiada temu, jak daleko pociągniemy wahadło z jego punktu równowagi przed puszczeniem go.

Puszczenie wahadła odpowiada zamknięciu obwodu. To, co dzieje się dalej, stanowi jego odpowiedź naturalną. Jeśli ruch odbywa się bez tarcia i bez oporu powietrza, wahadło będzie poruszać się bez końca.

W układzie $\text{LC}$‍, analogicznie do wahadła, zachodzi cykliczna przemiana napięcia w natężenie prądu o sinusoidalnym przebiegu. Zarówno napięcie, jak i natężenie prądu są sinusoidami przesuniętymi w fazie o $1/4$‍ okresu.

Kierując się naszym przeczuciem, stworzyliśmy intuicyjny opis działania układu $\text{LC}$‍ (układu drugiego rzędu). Przebieg zmian napięcia i natężenia prądu ma charakter sinusoidalny.