Główna zawartość

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2

Lekcja 4: Odpowiedź swobodna i wymuszona

Wyprowadzenie odpowiedzi swobodnej układu LC

Przy okazji formalnego wyprowadzenia odpowiedzi naturalnej układu LC, odkrywamy czym jest częstość oscylacji obwodu elektrycznego. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Wyprowadzimy formalnie funkcję odpowiedzi naturalnej układu

LC

, zawierającego cewkę i kondensator.

Oto gdzie rodzą się fale sinusoidalne.

Kontekst

W tym artykule krok po kroku przejdziemy przez rozwiązanie równania różniczkowego

drugiego

rzędu. Założymy, że nie zetknąłeś się jeszcze z tego typu równaniem. Sal nagrał filmy o równaniach drugiego rzędu. Równania

pierwszego

rzędu przybliżyliśmy omawiając odpowiedź naturalną układów

\underset{―}{RC}

\underset{―}{RL}

. Możesz też obejrzeć filmy Sala na temat równań pierwszego rzędu.

Do czego zmierzamy

Odpowiedź naturalna układu

LC

opisywana jest przez jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu w postaci:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{C} i = 0

Rozwiązanie, czyli wyrażenie na natężenie prądu w zależności od czasu ma postać:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

gdzie

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

jest naturalną częstością układu

LC

, a

V_{0}

- początkowym napięciem na kondensatorze.

W elektrotechnice używamy litery

j

na oznaczenie

\sqrt{- 1}

.
(Tak, by nie myliło się z

i

, które zarezerwowane jest dla natężenia prądu.)

Wprowadzenie

Układy pierwszego rzędu

Do tej pory rozważaliśmy układy pierwszego rzędu,

\underset{―}{RC}

\underset{―}{RL}

. Zawierały one po jednym elemencie zdolnym do gromadzenia energii - kondensatorze (

C

) albo cewce indukcyjnej (

L

). Ich odpowiedź naturalna ma kształt eksponencjalnego spadku do ustalonej wartości końcowej. Energia, zgromadzona uprzednio na jednym z tych elementów, rozpraszana była na wpiętym w obwód oporniku.

Układy drugiego rzędu

Rozważymy obwód z dwoma elementami gromadzącymi energię, bez opornika. Obwody z dwoma elementami magazynującymi energię nazywamy drugiego rzędu, gdyż opisują je równania różniczkowe drugiego rzędu.

W tym artykule omówimy układ

LC

. Jest to przedostatni typ obwodu, który rozwiążemy od początku do końca korzystając z równań różniczkowych. Ostatnim będzie układ

RLC

, omówiony w następnym artykule. Opis matematyczny robi się coraz bardziej skomplikowany. Na całe szczęście, po omówieniu układów

LC

RLC

, nauczymy się drogi na skróty, która uczyni nasze życie znacznie łatwiejszym.

Jednak najpierw przedrzemy się przez równania różniczkowe zamiast iść od razu skrótem. Chcę Ci pokazać, skąd w elektronice biorą się fale sinusoidalne, mające swoje źródło w rozwiązaniach równań drugiego rzędu. Fale tego typu pełnią niezwykle istotną rolę - z fal sinusoidalnych możemy zbudować wszystkie pozostałe rodzaje sygnałów.

W układach drugiego rzędu po raz pierwszy spotykamy się z oscylacyjnym zachowaniem układu. Zegar z wahadłem jest klasycznym przykładem znanym z mechaniki klasycznej. W elektrotechnice, klasycznym układem drugiego rzędu jest układ

LC

Odpowiedź naturalna

Chcemy wyznaczyć odpowiedź naturalną układu

LC

. Przez odpowiedź naturalną rozumiemy zachowanie układu pod nieobecność zewnętrznej siły, która napędzała by jego ruch. Odpowiedź naturalna daje zawsze istotny wkład do całkowitej odpowiedzi układu.

Odpowiedź naturalna układów drugiego rzędu

Aby znaleźć dokładną postać odpowiedzi naturalnej, przygotujemy nasz układ zadając pewną ilość zgromadzonej energii początkowej. Elementy obwodu są oznaczone stosując się do konwencji znaku dla elementów pasywnych. Zaczynamy z przełącznikiem z pozycji otwartej. Początkowe natężenie prądu na cewce wynosi więc

0 A

. Zakładamy, że na kondensatorze występuje początkowe napięcie

v_{C} = - V_{0}

. ( Zwróć uwagę na to, że biegun

+

kondensatora

v_{C}

jest na dole.) W chwili

t = 0

zamykamy obwód.

Do analizy tego obwodu wykorzystamy standardowe metody. Zaczniemy od rozpisania jednego z praw Kirchhoffa. Chodzi o drugie prawo, które pozwoli nam znaleźć postać równania obwodu. Rozpoczynamy od dolnego lewego końca obwodu i poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

v_{L} + v_{C} = 0

L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i d t = 0

Równanie w postaci całkowej nie jest najłatwiejsze w użyciu. Pozbędziemy się jej, biorąc pochodną z każdego wyrazu w równaniu.

\frac{d}{d t} (L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i d t) = \frac{d}{d t} 0

Po przeprowadzeniu tej operacji, zostajemy z drugą pochodną wyrazu zawierającego

L

, z wyrazu zawierającego

1 / C

pozbywamy się całki, a po prawej stronie równania nadal mamy

0

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{C} i = 0

Zapis jest czytelniejszy, gdy w pierwszym wyrazie nie występuje żaden stały współczynnik. Podzielimy więc obie strony przez

L

. Otryzmane równanie opisuje istotę działania naszego obwodu.

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

Postulujemy rozwiązanie

Rozwiązując układy pierwszego rzędu,

RC

RL

, zgadliśmy eksponencjalną postać równania na

i (t)

. Metody zgadywania możemy użyć również w przypadku równania drugiego rzędu. Wymagania stawiane przez równanie drugiego rzędu są podobne: funkcja będąca rozwiązaniem ma mieć taką postać, by ona i jej pochodna sumowały się do

0

. Funkcja eksponencjalna spełnia ten warunek. Postulujemy więc rozwiązanie w postaci eksponencjalnej z kilkoma parametrami:

i (t) = K e^{s t}

K

jest czynnikiem amplitudowym, który skaluje natężenie prądu.

s

występuje w eksponencie obok czasu

t

s

musi mieć wymiar

1 / t

tak, by wyrażenie w wykładniku było bezwymiarowe. Wielkości o takim wymiarze nazywamy częstościami, a skoro mowa o odpowiedzi naturalnej to

s

nazwiemy częstością naturalną.

Podstawmy teraz postulowaną funkcję do równania różniczkowego. W ten sposób sprawdzimy, czy jest ono spełnione.

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (K e^{s t}) + \frac{1}{LC} (K e^{s t}) = 0

Zacznijmy od pierwszego wyrazu, który musimy dwukrotnie zróżniczkować. Pierwsza pochodna wynosi:

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

Druga pochodna tego samego wyrazu jest równa:

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (K e^{s t}) = \frac{d}{d t} (s K e^{s t}) = s^{2} K e^{s t}

Teraz wstawimy wyznaczoną drugą pochodną z powrotem do naszego równania:

s^{2} K e^{s t} + \frac{1}{LC} K e^{s t} = 0

Wyciągniemy wyrażenie

K e^{s t}

przed nawias:

K e^{s t} (s^{2} + \frac{1}{LC}) = 0

Na ile sposobów możemy sprawić, by równanie było spełnione?

Po pierwsze,

K = 0

. Otrzymujemy mało interesujące równanie,

0 = 0

Drugi człon,

e^{s t}

, nie osiągnie zerowej wartości w skończonym czasie.

Po trzecie mamy człon (

s + 1 / LC)

, który możemy przyrównać do

0

by otrzymać coś bardziej interesującego:

s^{2} + \frac{1}{LC} = 0

Powyższe równanie nazywamy równaniem charakterystycznym obwodu. Chcemy wyznaczyć pierwiastki równania, czyli takie wartości

s

dla których lewa strona równania wynosi zero.

s^{2} = - \frac{1}{LC}

Patrz uważnie na to, co się zaraz stanie. Weźmiemy pierwiastek z ujemnej liczby, tworząc liczbę urojoną.

s

ma dwie możliwe wartości:

s_{1} = + j \sqrt{\frac{1}{LC}}

s_{2} = - j \sqrt{\frac{1}{LC}}

W elektrotechnice na oznaczenie jednostki urojonej (

\sqrt{- 1}

) używamy litery

j

i

jest już zajęte przez natężenie prądu.

Dla uproszczenia wprowadzamy oznaczenie na czynnik z pierwiastkiem:

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

ω

jest to mała litera alfabetu greckiego, omega.

ω

to bardzo często stosowane oznaczenie na częstość mierzoną w radianach na sekundę. Kąt pełny wynosi

360^{\circ}

, co jest równe

2 π

radianom. Kąt równy

1

radianowi wynosi

360^{\circ} / 2 π \approx 57, 6^{\circ}

. Kiedy spotkasz się z oznaczeniem

ω

, miej z tyłu głowy "radiany na sekundę".

Częstość naturalną albo częstość rezonansową często oznaczamy

ω_{\circ}

, a wymawiamy - "omega zero."

Wyrazimy przez

ω_{o}

pierwiastki równania charakterystycznego:

s_{1} = + j ω_{\circ}

s_{2} = - j ω_{\circ}

To dopiero! Układ

LC

posiada dwie zespolone częstości naturalne

s_{1}

s_{2}

. W dodatku jedna z nich jest ujemna. Pozwoli nam to na wyciągnięcie bardzo interesujących wniosków.

Zarówno

s_{1}

jak i

s_{2}

jest pierwiastkiem naszego równania. W postulowanym rozwiązaniu musimy uwzględnić obie częstości

s_{1}

s_{2}

. Ogólne rozwiązanie zapiszemy więc jako liniową kombinację dwóch wyrazów z dwoma przestrajalnymi parametrami

K

i (t) = K_{1} e^{+ j ω_{\circ} t} + K_{2} e^{- j ω_{\circ} t}

Bardzo możliwe, że w tej chwili myślisz sobie, "Zespolone wykładniki? Ujemne częstości? Czy to dzieje się naprawdę?" Odpowiedź brzmi - tak. Nie zniechęcaj się więc podczas dalszej pracy nad przekształceniami tego wyrażenia.

Tożsamości Eulera

Do rozpisania zespolonej funkcji wykładniczej posłuży nam ważna zależność.

Posiłkując się rozwinięciem Maclaurina dla

e^{j x}

\sin j x

\cos j x

, możliwe jest wyprowadzenie poniższych tożsamości Eulera:

e^{+ j x} = \cos x + j \sin x

e^{- j x} = \cos x - j \sin x

Oglądając podlinkowany film będziemy mieli na uwadze, że za każdym razem kiedy Sal wspomina o

i

, ma na myśli nasze

j

Tożsamości te pozwalają nam zmienić specyficzne wyrażenie w postaci

e

do urojonej potęgi w zwykłą liczbę zespoloną. Część rzeczywista i urojona wyraża się przez kosinus i sinus jakichś liczb. Zatem ich wartości muszą leżeć między

- 1

+ 1

Zastosowanie tożsamości Eulera

Zastosujemy tożsamości Eulera do postulowanego rozwiązania.

i (t) = K_{1} e^{+ j ω_{\circ} t} + K_{2} e^{- j ω_{\circ} t}

i (t) = K_{1} (\cos ω_{\circ} t + j \sin ω_{\circ} t) + K_{2} (\cos ω_{\circ} t - j \sin ω_{\circ} t)

Po wymnożeniu wszystkich stałych:

i (t) = K_{1} \cos ω_{\circ} t + j K_{1} \sin ω_{\circ} t + K_{2} \cos ω_{\circ} t - j K_{2} \sin ω_{\circ} t,

oraz zebraniu razem wyrazów z kosinusami i sinusami:

i (t) = (K_{1} + K_{2}) \cos ω_{\circ} t + j (K_{1} - K_{2}) \sin ω_{\circ} t

Nie wiemy ile wynosi ani

K_{1}

, ani

K_{2}

, ani ich suma albo różnica. Nie widać więc przeszkód, by nieznane

K

zastąpić nieznanymi

A

, upraszczając tym samym zapis:

Niech

A_{1} = (K_{1} + K_{2})

A_{2} = j (K_{1} - K_{2}

). Wtedy

i (t)

wynosi:

i (t) = A_{1} \cos ω_{\circ} t + A_{2} \sin ω_{\circ} t

Udało nam się posłużyć tożsamościami Eulera by przekształcić wyrażenie zawierające funkcje wykładnicze zmiennych zespolonych w sumę funkcji trygonometrycznych. Po raz pierwszy w elektrotechnice zetknęliśmy się z wyrażeniem w którym zmienna czasowa znajduje się pod funkcją typu sinus albo kosinus (w przebiegu sinusoidalnym).

(Zwróć uwagę, że nasza definicja

A_{2}

, czyli

j (K_{1} - K_{2})

zawiera

j

, które nie pojawia się wprost w postulowanym rozwiązaniu.)

Sprawdzenie postulowanego rozwiązania

Teraz sprawdzimy postulowane rozwiązanie, wstawiając je do równania różniczkowego drugiego rzędu. Jeśli uda nam się tak dobrać wartości stałych współczynników, by równanie zostało spełnione, będziemy mieli zwycięzcę.

Znajdowanie warunków początkowych

Warunki początkowe dla naszego obwodu drugiego rzędu są nieco bardziej złożone niż dla obwodów pierwszego rzędu, na przykład

RC

albo

RL

, z którymi mieliśmy styczność wcześniej. W tamtych sytuacjach wystarczyło zadać początkowe natężenie prądu albo napięcie. W obwodzie drugiego rzędu, jakim jest układ

LC

, zadać musimy dwie wartości: natężenie prądu oraz wartość jego pochodnej w chwili zamknięcia obwodu.

Zapiszmy wszystko, co wiemy na temat obwodu w chwili

t = 0^{-}

, czyli tuż przed zamknięciem obwodu:

Obwód jest otwarty, więc $i (0^{-}) = 0$ ‍
Początkowe napięcie na kondensatorze jest określone i wynosi $v_{C} (0^{-}) = - V_{0}$ ‍.

Czas tuż po zamknięciu obwodu oznaczymy jako

t = 0^{+}

. Naszym celem jest znalezienie natężenia prądu i jego pochodnej w tej chwili,

i (0^{+})

oraz

d i / d t (0^{+})

Uzbrojeni w wiedzę o tym, jak zachowują się cewki i kondensatory, będziemy w stanie przejść z

t = 0^{-}

t = 0^{+}

Natężenie prądu na cewce nie może zmieniać się w sposób natychmiastowych, więc
$i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0$ ‍
Napięcie na kondensatorze nie może zmieniać się w sposób natychmiastowy, więc
$v (0^{+}) = v (0^{-}) = V_{0}$ ‍

(Po zamknięciu obwodu w obwodzie występuje tylko jedno napięcie

v

. Od tej pory będziemy je oznaczać po prostu

v

, z pominięciem indeksów.)

Znamy już wartość

i (0^{+})

, ale jeszcze nie wiemy ile wynosi

d i / d t (0^{+})

. Gdzie możemy znaleźć tę pochodną? Może w równaniu

i

v

cewki?

v = L \frac{d i}{d t}

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} v (0^{+})

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Określiliśmy zatem drugi warunek początkowy. Mówi on nam, że w chwili następującej po zamknięciu obwodu, szybkość zmiany natężenia prądu wynosi

V_{0} / L

amperów na sekundę.

Warunki początkowe - podsumowanie

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Wyznaczenie $A_{1}$ ‍ i $A_{2}$ ‍ z warunków początkowych

Użyjemy warunków początkowych, jednego po drugim, aby znaleźć wartości stałych. Pierwszy warunek początkowy mówi, że

i = 0

w chwili

t = 0^{+}

. Zobaczmy co dostaniemy po podstawieniu go do równania:

i (t) = A_{1} \cos ω_{\circ} t + A_{2} \sin ω_{\circ} t

0 = A_{1} \cos (ω_{\circ} \cdot 0) + A_{2} \sin (ω_{\circ} \cdot 0)

0 = A_{1} \cos 0 + A_{2} \sin 0

\begin{array}{r} 1 \\ 0 = A_{1} \cos 0 \end{array} \begin{array}{r} 0 \\ + A_{2} \sin 0 \end{array}

0 = A_{1}

A_{1}

wynosi

0

. Zatem wyraz z kosinusem znika z rozwiązania. Nasze postulowane rozwiązanie przyjmuje więc postać:

i (t) = A_{2} \sin ω_{\circ} t

Podobnie postąpimy z

A_{2}

, posiłkując się drugim warunkiem początkowym. Pochodna po

i

t = 0^{+}

wynosi:

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Przyrównamy to do pochodnej postulowanego

i (t)

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (A_{2} \sin ω_{\circ} t)

\frac{d i}{d t} = ω_{\circ} A_{2} \cos ω_{\circ} t

Po podstawieniu

t = 0

otrzymujemy:

\frac{1}{L} V_{0} = ω_{\circ} A_{2} \cos (ω_{\circ} \cdot 0)

\frac{1}{L} V_{0} = ω_{\circ} A_{2} \cdot 1

A_{2} = \frac{1}{ω_{\circ} L} V_{0}

Wyrazimy

ω_{\circ}

przez

L

C

, otrzymując:

A_{2} = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0}

Nasza ciężka praca jest zwieńczona znalezieniem równania na natężenie prądu w zależności od czasu:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

Rozwiązanie dla rzeczywistych elementów obwodu

Aby uwidocznić postać rozwiązania, elementom obwodu przypiszemy określone parametry -

L = 1

henr i

C = 1 / 4

farada. Przyjmijmy, że początkowe napięcie na kondensatorze wynosi

10 V

Częstość naturalna,

ω_{\circ}

, wynosi:

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}} = \sqrt{\frac{1}{1 \cdot 1 / 4}} = 2 rad/s

Natężenie prądu w funkcji czasu wynosi:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t = \sqrt{\frac{1 / 4}{1}} 10 \sin ω_{\circ} t

i (t) = 5 \sin 2 t

W chwili zamknięcia obwodu, pojawia się w nim prąd:

Natężenie prądu przybiera sinusoidalny przebieg, który trwa w nieskończoność. W naszym wyidealizowanym obwodzie nie ma wszak opornika, który mógłby rozpraszać energię. W rzeczywistym obwodzie, obecność niewielkich oporów doprowadziłaby do stopniowego rozproszenia energii.

Częstość naturalna fali sinusoidalnej wynosi

ω_{\circ} = 2 rad / s

. Możemy dokonać przekształcenia z radianów na sekundę do liczby okresów na sekundę (wielkość ta wyrażana jest w hercach,

Hz

), wiedząc że

1

pełen okres funkcji sinus wynosi

2 π

radianów. Do oznaczenia liczby okresów na sekundę zwykle używany jest symbol

f

. Z częstością naturalną łączy się następującym równaniem:

ω = 2 π f

Częstość naturalna wyrażona w liczbie okresów na sekundę, hercach,

Hz

, wynosi więc:

f = \frac{2 rad/s}{2 π} = \frac{1}{π} Hz,

Innymi słowy, natężenie prądu przechodzi przez cały okres w trakcie

π

sekund.

Szybkie spojrzenie na warunki początkowe

Jeśli zbliżymy się do początku układu współrzędnych, możemy zobaczyć jak warunki początkowe wpłynęły na nasze rozwiązanie. Fala sinusoidalna zaczyna się w początku układu,

i = 0

. Zwróć uwagę, jak blisko nachylenie przebiegu niebieskiej funkcji sinus pokrywa się z nachyleniem prostej oznaczającej warunek początkowy

d i / d t = 10 A / s

Napięcie, $v (t)$ ‍

Po znalezieniu wyrażenia na natężenie prądu, spróbujemy zmierzyć się z ostatnim wyzwaniem - rozwiązaniem na napięcie,

v (t)

Znajdźmy wyrażenie na $v (t)$ ‍ po zamknięciu obwodu.

Możliwe, że najszybszym sposobem jest użycie równania

i

v

cewki po to, by znaleźć zależność

v

d i / d t

v (t) =

Podsumowanie

Udało nam się wyprowadzić odpowiedź naturalną układu

LC

. Pierwszym krokiem było zbudowanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu:

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

Następnie założyliśmy rozwiązanie w postaci

K e^{s t}

, co doprowadziło nas do równania charakterystycznego naszego obwodu:

s^{2} + \frac{1}{LC} = 0

Znajdując pierwiastki równania charakterystycznego, natknęliśmy się na bardzo dziwne wyrażenie:

e^{j ω_{\circ} t}

, funkcję wykładniczą zmiennej zespolonej. Wyciągnęliśmy wtedy nasze asy z rękawa:

Tożsamości Eulera

e^{+ j x} = \cos x + j \sin x

e^{- j x} = \cos x - j \sin x

Powyższe tożsamości pozwalają nam na wyrażenie funkcji wykładniczej zmiennej zespolonej jako kombinacji liniowej funkcji sinus i kosinus. (W elektrotechnice na oznaczenie jednostki urojonej,

\sqrt{- 1}

, zwykliśmy używać litery

j

W kolejnym kroku przyjrzeliśmy się uważnie obwodowi po to, by znaleźć warunki początkowe. Mając do uwadze, że rozważamy układ drugiego rzędu, wyznaczyliśmy początkowe

i

d i / d t

Znaleźliśmy funkcję

i (t)

, która spełnia nasze równanie różniczkowe:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

ω_{\circ} \equiv \sqrt{\frac{1}{LC}}

jest częstością naturalną układu

LC

V_{0}

jest napięciem początkowym na kondensatorze.

(To rozwiązanie ma zastosowanie, gdy założymy, że początkowe natężenie prądu na cewce wynosi

0

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Elektrotechnika

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2

Kontekst

Do czego zmierzamy

Wprowadzenie

Układy pierwszego rzędu

Układy drugiego rzędu

Odpowiedź naturalna

Odpowiedź naturalna układów drugiego rzędu

Postulujemy rozwiązanie

Tożsamości Eulera

Zastosowanie tożsamości Eulera

Sprawdzenie postulowanego rozwiązania

Znajdowanie warunków początkowych

Warunki początkowe - podsumowanie

Wyznaczenie A1‍ i A2‍ z warunków początkowych

Rozwiązanie dla rzeczywistych elementów obwodu

Szybkie spojrzenie na warunki początkowe

Napięcie, v(t)‍

Podsumowanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Wyznaczenie $A_{1}$ ‍ i $A_{2}$ ‍ z warunków początkowych

Napięcie, $v (t)$ ‍