If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Odpowiedź swobodna układu RC

Odpowiedź naturalna układu RC. Iloczyn R i C nazywany jest stałą czasową. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.
Układ RC (ang. resistor capacitor), zawierający opornik (R) i cewkę (C), należy do jednego z pierwszych ciekawych obwodów, które możemy zbudować i analizować. Zrozumienie jego działania jest kluczowym krokiem w nauce elektroniki. Na obwód tego typu, pod różnymi postaciami, natykamy się na każdym kroku. Czasami zdarzy się, że zbudujesz go celowo, ale znów innym razem powstanie mimochodem.
Układ RC należy do jednego z pierwszych, w których będziemy myśleć o zmianie parametrów w czasie. Na potrzeby precyzyjnego opisu i zrozumienia zastosujemy metody rachunku różniczkowego. W szczególności, posiłkować się będziemy pojęciem pochodnej.
Postaramy się zrozumieć odpowiedź naturalną tego obwodu.

Do czego zmierzamy

W obwodzie RC napięcie na kondensatorze będzie zanikać wykładniczo zaczynając od początkowej wartości V0, zgodnie z równaniem:
v(t)=V0et/RC,
gdzie V0 oznacza napięcie w chwili t=0. Tę zależność nazywamy odpowiedzią naturalną układu.
Stała czasowa dla obwodu RC równa jest τ=RC
W obwodzie, który rozważamy, opornik i kondensator są połączone szeregowo. Jak taki obwód reaguje na przyłożone zewnętrzne napięcie?

Na początku pokierujmy się intuicją

Oto obwód, który będziemy teraz rozważać:
Chcemy dowiedzieć się, co stanie się z napięciem kondensatora vC w trakcie przełączania przełącznika tam i z powrotem.
Zastanowimy się osobno nad każdym z tych pytań:
Jakie jest napięcie na kondensatorze vC,
  • przed przełączeniem przełącznika w górę?
  • po przełączeniu?
  • po przełączeniu z powrotem do pozycji wyjściowej?

Przed przełączeniem obwodu

Rozpoczniemy od przeanalizowania stanu początkowego obwodu, zanim poczynimy jakiekolwiek zmiany. Przełącznik znajduje się w dolnej pozycji. Możemy narysować obwód zastępczy przedstawiający tę sytuację. Napięcie vin wynosi 0 V. Lewy zacisk opornika R jest połączony z dolnym zaciskiem kondensatora C.
Załóżmy chwilowo, że obwód znajdował się w takim stanie od długiego czasu, tak, że ewentualny zgromadzony ładunek na kondensatorze miał czas rozproszyć się na oporniku i wynosi qC=0. Wiedząc, że vC=q/C=0/C=0, stwierdzamy, że napięcie na kondensatorze wynosi 0 V.
Skoro napięcie na kondensatorze wynosi 0 V, tyle samo musi być na oporniku, a natężenie prądu płynącego przez opornik R wynosi 0 A (tak samo zresztą jak przez kondensator). Obwód znajduje się ‘w stanie stacjonarnym’ albo ‘równowagi’. Mówimy również, że znajduje się w równowadze. Odpowiedzieliśmy więc na pierwsze pytanie, "Jakie jest napięcie na kondensatorze C przed przełączeniem przełącznika."

Po przełączeniu obwodu

Teraz przełączamy obwód. Napięcie vin jest teraz tożsame z napięciem baterii VBAT. Coś w naszym obwodzie od razu zacznie się zmieniać.
Prąd zaczyna płynąć z dodatniego zacisku baterii przez opornik R i kondensator C. Na kondensatorze zaczyna gromadzić się ładunek. W tym czasie napięcie zaczyna wzrastać zgodnie z zależnością vC=q/C. W przedziale czasu, w którym vC się zmienia obwód znajduje się w stanie nieustalonym.
Co sprawia, że vC nie rośnie w nieskończoność? Ładunek gromadzi się na okładkach kondensatora do momentu, gdy vC zrówna się z napięciem baterii: vC=VBAT. Gdy tak się stanie, napięcie na oporniku wynosi 0 V, zatem, na mocy prawa Ohma, prąd przestaje przez niego płynąć. Jednocześnie prąd ( a z nim - ładunki) nie dociera do kondensatora, zatem kondensator przestaje się on ładować. Ładunek, a w konsekwencji - napięcie na kondensatorze ustala się na poziomie vc=VBAT. Obwód wyszedł ze stanu nieustalonego.
Udało nam się odpowiedzieć na drugie pytanie, "Jakie jest napięcie na kondensatorze vC po przełączeniu przełącznika w górę?". Po wyjściu ze stanu nieustalonego, obwód przechodzi do stanu ustalonego w którym vC=VBAT. Pozostanie w nim dopóki coś go z niego nie wytrąci.

Powrót przełącznika do dolnej pozycji

Jeszcze raz przełączymy obwód, przywracając go do stanu, w którym jest podłączony tylko do dolnego zacisku baterii. Co stanie się w tej sytuacji, gdy vin=0?
Powróciliśmy do pierwotnego obwodu, ale tym razem kondensator C został naładowany pewnym ładunkiem. Występuje więc na nim niezerowe napięcie początkowe. Na zaciskach opornika R również pojawiło się napięcie. W momencie przełączenia obwodu do stanu pierwotnego wynosi ono vC=VBAT. Zgodnie z prawem Ohma, prąd zacznie płynąć przez opornik R. Źródłem tego prądu jest ładunek zgromadzony na kondensatorze C. Prąd będzie płynął, dopóki ładunek zgromadzony na kondensatorze C nie wyczerpie się. Wartość vC stopniowo spadnie do zera, tak jak napięcie na oporniku R. Obwód wróci więc do swojego stanu początkowego. Udało się zatem odpowiedzieć na trzecie i ostatnie pytanie: "Jakie jest napięcie na kondensatorze vC po przełączeniu przełącznika do pozycji wyjściowej?"

Podsumowanie

Kierując się samą intuicją, udało nam się wydedukować, że napięcie na kondensatorze vC, rośnie od 0 V do wartości równej napięciu baterii VBAT, a następnie spada z powrotem do 0 V. Innymi słowy, vC zmienia się od początkowego stanu ustalonego, przez stan nieustalony, do nowego stanu ustalonego. Następnie kolejny raz znajduje się w stanie nieustalonym i powraca do stanu początkowego. Znamy dokładne napięcie na początku i końcu każdego stanu ze stanów nieustalonych. Nieźle, ale - co tak w zasadzie wiemy? Nie wiemy ani jak długo obwód znajduje się w stanach nieustalonych, ani jaki jest ich przebieg. Uzbrojeni w narzędzia rachunku różniczkowego, spróbujemy teraz znaleźć dokładne rozwiązanie, które będzie jednocześnie bardziej użyteczne.

Formalne wyprowadzenie naturalnej odpowiedzi układu RC

Rozpoczniemy od najprostszego możliwego przypadku. Obwód tworzą jedynie sobą opornik R i połączony z nim kondensator C. Przez "znalezienie odpowiedzi" układu mamy na myśli wyrażenie v i i w funkcji czasu.
Aby w układzie działo się coś ciekawego poza trwaniem w początkowym stanie, na kondensatorze umieścimy pewien ładunek początkowy. Zakładamy, że stało się tak za sprawą jakiegoś zewnętrznego i niewidzialnego obwodu. Po wprowadzeniu energii w tej postaci, przestajemy ingerować w układ i obserwujemy jego naturalne zachowanie. Załóżmy, że zewnętrzny obwód naładował nasz kondensator tak, że początkowe napięcie wynosi V0, a obwód został odpięty chwilę temu.
Wynik, który zaraz wyprowadzimy jest nazywany odpowiedzią naturalną układu RC. Odpowiedź naturalna określa zachowanie układu w odpowiedzi na zadane warunki początkowe, bez dodatkowych czynników, które mogłyby na niego wpływać.

Modelowe elementy

Elementy obwodu, R i C, mogą być opisane swoimi charakterystykami prądowo-napięciowymi (równaniami i-v).
Dla opornika wybierzmy jedną z postaci prawa Ohma:
iR=vR
Odpowiadająca mu charakterystyka kondensatora może być zapisana jako:
iC=Cdvdt

Zamodelujmy obwód

Możemy rozpisać równania pierwszego prawa Kirchhoffa dla prądów wypływających z górnego węzła.
iC+iR=0
Cdvdt+1Rv=0

Rozwiążmy obwód

Powyższe równanie równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu. Posiadamy już umiejętność rozwiązywania tego typu równań.
Rozwiązaniem równania różniczkowego jest jakaś funkcja, w naszym przypadku zależna od czasu - v(t). v(t) jest rozwiązaniem, jeśli po wstawieniu do równania jest ono spełnione.
Cdvdt+1Rv=0
(równanie różniczkowe)
Jak znajdujemy rozwiązania podobnych równań? Jednym ze sposobów jest zgadnięcie funkcji i sprawdzenie czy działa.
Przyglądając się równaniu, spróbuj wydobyć z pamięci informacje na temat funkcji i ich pochodnych.
Suma obu wyrazów musi wynosić zero. W takim razie szukana funkcja i jej pierwsza pochodna muszą mieć tę samą postać. Postaraj się przypomnieć sobie dla jakiej funkcji jest to prawda. Pochodna której funkcji wygląda jest identyczna do tej funkcji, hmm...
Funkcja, która pasuje ma postać funkcji eksponencjalnej, ex, gdyż pochodna funkcji eksponencjalnej jest również funkcją eksponencjalną.
ddteαt=αeαt
W celu rozwiązania naszego równania różniczkowego, musimy poczynić śmiałe założenie co do postaci rozwiązania (do czego będzie potrzebna odwaga). Następnie rozwiązanie wstawimy do równania po to, by wyznaczyć kilka stałych charakterystycznych dla naszego obwodu (do czego będzie potrzebna matematyka). Jeśli uda się znaleźć takie wartości stałych, które spełniają równanie, to wykażemy, że nasza funkcja spełnia równanie - i będziemy w domu.
Funkcja eksponencjalna może okazać się dobrą kandydatką do spełnienia powyższego równania. Przyozdobimy ją zmiennymi parametrami, K i s.
v(t)=Kest
  • t oznacza czas
  • v(t) to napięcie zmienne w czasie
  • K i s są stałymi do wyznaczenia
    • K jest amplitudą zmian napięcia.
    • s występuje w wykładniku funkcji eksponencjalnej. Wyrażenie w wykładniku musi być bezwymiarowe, więc wymiar tej stałej musi skrócić się z wymiarem czasu. Zatem wymiar s wynosi 1/t.
Sprawdźmy teraz nasze zapostulowane rozwiązanie.
Dokonamy podstawienia v(t)=Kest do równania różniczkowego:
Cddt(Kest)+1R(Kest)=0
Obliczymy pochodną z pierwszego wyrazu.
ddt(Kest)=sKest
Wstawimy sKest z powrotem do naszego równania:
sCKest+1RKest=0
Wyciągniemy Kest przed nawias:
(sC+1R)Kest=0
Otrzymaliśmy równanie opisujące nasz obwód z postulowanym rozwiązaniem. Jesteśmy już blisko. Teraz rozważymy wartości, które mogą przyjmować nasze stałe po to, żeby sprawdzić czy równanie ma sens.
Na ile sposobów możemy sprawić, by lewa strona była równa zero? Sposobów jest trzy, tyle ile wyrazów w iloczynie. Dowolny z wyrazów, K, est albo (sC+1/R), możemy przyrównać do zera.
Jednym z trywialnych rozwiązań jest podstawienie K=0. Takie rozwiązanie opisuje sytuacje, w której początkowy ładunek na kondensatorze wynosi 0 i z obwodem nic się nie dzieje. Strasznie to nudne.
Drugim z bardziej trywialnych rozwiązań wiąże się ze wstawieniem est=0. Wystarczy, że wstawimy s i odczekamy (nieskończenie długą) chwilę. Gdy t dąży do +, wyrażenie e znika. Jedynym działaniem naszego układu jest nieskończenie długie rozładowywanie kondensatora. Możemy siedzieć i czekać, ale, tak jak przed chwilą, nie jest to zbyt interesujące.
Nad trzecim rozwiązaniem musimy się chwilę zatrzymać i zastanowić:
sC+1R=0
Równanie jest prawdziwe jeśli spełniona jest równość:
s=1RC
Postulowane rozwiązanie przyjmuje więc postać:
v(t)=Ket/RC
Jesteśmy już tuż, tuż. Zostało nam jedynie wyznaczenie K. Zastanówmy się nad warunkami początkowymi naszego obwodu. Przypomnijmy, że kondensator początkowo naładowano do napięcia V0. Jeśli przyjmiemy, że początkowa chwila to t=0, otrzymujemy:
v(0)=V0=Ke0RC
Skąd wyznaczamy K=V0.
Wyznaczyliśmy wyrażenia na s i K, które spełniają równanie obwodu. Udało się, dobrnęliśmy do końca. Proszę o werble...
Ogólnym rozwiązaniem dla odpowiedzi naturalnej układu RC jest:
v(t)=V0et/RC

Stała czasowa

Wykładnik funkcji eksponencjalnej musi być bezwymiarowy. To oznacza, że iloczyn RC występujący w funkcji et/RC musi mieć wymiar czasu, tak, by skrócił się z t w mianowniku. Z tego wynika, że omfarad = sekunda, co może nie wydawać się oczywiste.
Iloczyn R i C jest nazywany stałą czasową obwodu. Zwykle oznacza się ją grecką literą τ (tau).
τ=RC
Nasze rozwiązanie zapiszemy zatem jako:
v(t)=V0et/τ
Gdy t jest równe stałej czasowej, wykładnik nad e przyjmuje wartość 1, a wyraz w którym występuje równa się 1/e, czyli około 0,37. Stałą czasowa określa szybkość zaniku krzywej wykładniczej. Po czasie równym 1 wielokrotności stałej czasowej, napięcie spada do 37% swojej początkowej wartości.

Przykład 1

Dla obwodu wykazującego odpowiedź naturalną,
niech R=3kΩ, C=1μF i V0=1,4V.
a. Napisz wyrażenie na v(t)
b. Ile wynosi v(t) gdy t=RC ?
c. Naszkicuj v(t)

Rozwiązanie przykładu 1

a. Napisz wyrażenie na v(t)
v(t)=V0et/RC,
v(t)=1,4et3kΩ1μF
v(t)=1,4et31031106
v(t)=1,4et3103
v(t)=1,4et3ms
b. Ile wynosi v(t) gdy t=RC ?
Jednostką iloczynu RC są sekundy.
τ=RC=31031106
τ=3103=3ms
v(3ms)=1,4e3ms3ms
v(3ms)=1,4e1
v(3ms)=1,40,3679
v(3ms)=0,515V (na poniższym wykresie zaznaczone kółkiem)
c. Naszkicuj v(t)
Kółko oznacza rozwiązanie podpunktu b: v(t)=0,515V gdy t=RC=3ms.

Użyteczna reguła:

W chwili czasu równej wartości stałej czasowej (RC), napięcie zmniejszyło się o czynnik równy 1/e, do wartości około 37% swojej wartości początkowej, dla każdych wartości początkowego napięcia i iloczynu RC.

Przykład 2

Niech R=1kΩ, C=1pF oraz V0=1,0V.
a. Napisz wyrażenie na v(t)
b. Jaka jest wartość stałej czasowej?
c. Naszkicuj v(t)
d. Po jakim czasie podanym jako wielokrotność stałej czasowej napięcie spadnie o 95% od swej wartości początkowej?

Rozwiązanie przykładu 2

a. Napisz wyrażenie na v(t)
v(t)=V0et/RC,
v(t)=1,0et1kΩ1pF
v(t)=1,0et1109
v(t)=1,0et1ns
b. Jaka jest wartość stałej czasowej?
τ=RC=1kΩ1pF
τ=110+311012
τ=1109=1ns
c. Naszkicuj v(t)
Kółko oznacza rozwiązanie podpunktu d.
d. Po jakim czasie podanym jako wielokrotność stałej czasowej napięcie spadnie o 95% od swej wartości początkowej?
Z wykresu, który naszkicowaliśmy w poprzednim podpunkcie, możemy odczytać czas, w którym napięcie osiąga wartość (10,95)1V=0,05, czyli około 3 ns, co odpowiada 3 stałym czasowym. Punkt ten zaznaczono kółkiem.

Jeszcze jedna przydatna reguła

Stan przejściowy dowolnego układu RC zaczyna dobiegać końca po upływie 3 stałych czasowych. Dzieje się tak niezależnie od wartości napięcia, czy też iloczynu RC.

Podsumowanie

Naturalną odpowiedź układu RC można zapisać jako funkcję wykładniczą:
v(t)=V0et/RC,
gdzie V0 oznacza napięcie w chwili t=0.
Stała czasowa układu RC wynosi τ=RC

Epilog

funkcja ex

Funkcja ex albo rośnie (x>0), albo maleje (x<0) w pewnym tempie zależnym od wartości x. Istnieje wiele funkcji o podobnym przebiegu. Wykresy wszystkich funkcji postaci yx mają kształt podobnych do siebie krzywych. Skoro podobny kształt możemy osiągnąć podstawiając za y różne liczby, jak 2x albo 10x, to czemu decydujemy się akurat na niewymierną liczbę e? Nasza miłość do e, większa niż do jakiejkolwiek innej liczby, wynika z tego, że to jedyna liczba dla której wyrażenie postaci yx po zróżniczkowaniu pozostaje takie samo. Innymi słowy, nachylenie krzywej ex w dowolnym punkcie x równe jest ex.
xdexxdxx=ex
Dokładnie to samo, bez żadnych kruczków czy pułapek.

Występowanie funkcji wykładniczej w naturze

Zagadnienie, które właśnie rozwiązaliśmy - odpowiedź naturalna układu RC - jest dobrym odzwierciedleniem tego, co często zachodzi w naturze. Funkcja wykładnicza jest świetnym matematycznym modelem opisującym jak pewnie wielkości rosną lub zanikają. Przykładem jest rozpad uranu, przyrost populacji, spłata rat kredytu, ogrzewanie i chłodzenie i wiele innych spotykanych w życiu codziennym procesów. Najogólniej jak można: Funkcje wykładnicze pojawiają się w momencie, gdy szybkość zmian jest proporcjonalna do liczebności jakiejś wielkości. W przypadku naszego układu RC, szybkość zmiany napięcia jest proporcjonalna do napięcia. Krzywa jest stroma, gdy napięcie jest wysokie a wypłaszcza się dla niskich napięć.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.