Intuicyjna analiza odpowiedzi swobodnej układu RLC

Ostatnim z układów, dla którego wyprowadzimy równania odpowiedzi naturalnej jest układ $\text{RLC}$‍, zawierający opornik (R), cewkę indukcyjną (L) i kondensator (C). W tym artykule pokierujemy się wyłącznie intuicją, a w następnych dwóch zastosujemy pełen matematyczny aparat równań różniczkowych do wyprowadzenia równań tego układu.

Układ $\text{RLC}$‍ przypomina rzeczywiste obwody, gdyż w każdym z nich występuje pewien skończony opór. Wykazuje on różnorodną odpowiedź o zróżnicowanym poziomie złożoności, przez co znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach elektrotechniki.

Intuicję dotyczącą odpowiedzi naturalnej układu $\text{RLC}$‍ wyrobimy sobie śledząc ruch ładunku wraz z upływem czasu. Jeśli na kondensatorze umieścimy początkowy ładunek i zamkniemy obwód, ładunek będzie dryfował między jedną okładką a drugą, przepływając po drodze przez cewkę i opornik. Z każdą oscylacją będzie go odrobinę mniej, gdyż przepływający ładunek będzie rozgrzewał opornik. Tym samym, część energii będzie rozpraszana z każdym okresem.

Elektryczny układ $\text{RLC}$‍ ma swój odpowiednik w mechanice. Jest nim kołyszące się wahadło. Ta analogia pomaga w zwizualizowaniu sobie tego, co dzieje się w naszym obwodzie.

Na potrzeby naszych rozważań założymy, że wartość oporu jest względnie niska - rzędu kilku omów. Nasze rozumowanie będzie przebiegało analogicznie do rozdziału o odpowiedzi naturalnej układu LC. Tym razem dodamy niewielki opór, co zbliża nas do opisu rzeczywistych obwodów.

Na kondensatorze występuje początkowe napięcie $V_0$‍. Oznacza to, że zgromadzony został na nim pewien ładunek $q$‍. Zakładamy, że ładunek został umieszczony tam przez zewnętrzny obwód, który jest w tym momencie poza naszym rozważaniem. W stanie początkowym przełącznik jest otwarty. Zarówno przez cewkę, jak i przez kondensator i opornik nie płynie więc prąd. Ładunek pozostaje nieruchomo na swoim miejscu.

Co stanie się, gdy zamkniemy przełącznik a układ będzie mógł robić "co chce"? To zachowanie nazywamy odpowiedzią naturalną. Jej przebieg uzyskamy analizując co dzieje się z ładunkiem $q$‍.

Ilość ładunku $q$‍ wyraża się przez iloczyn pojemności i napięcia na kondensatorze, $q=\text{C}{v}_{\text{C}}$‍. Początkowo, cały ładunek tkwi na kondensatorze. Całkowita ilość ładunku $q$‍ nie zmienia się w czasie odpowiedzi naturalnej układu. (To, gdzie aktualnie się znajduje możemy śledzić obserwując zmiany napięcia na kondensatorze.)

Kiedy mówimy, że pewien ładunek $q$‍ "został umieszczony na kondensatorze", chodzi nam o to, że na górnej okładce umieszczono ładunek $+q$‍, a na dolnej $-q$‍. Ładunek jest więc odseparowany. Po osiągnięciu stanu końcowego odpowiedzi naturalnej, ładunek przepłynie na drugą okładkę. Tam, napotykając ładunek o przeciwnym znaku, ulega zobojętnieniu. Ładunek nie znika, ale separacja ładunku - tak.

W trakcie naszych rozważań będziemy śledzić ruch ładunku $+q$‍. Taka sama ilość ładunku $-q$‍ będzie przepływać w drugą stronę. Wiedząc to, postaraj się wyobrażać ten ruch w trakcie omawiania naszego układu.

Zamykamy teraz obwód i pozwalamy układowi $\text{RLC}$‍ na jego "naturalne" zachowanie.

W pierwszej chwili czasu przez cewkę nie płynie prąd, a napięcie wynosi $0$‍. Podobnie wygląda to na oporniku. Natężenie prądu wynosi $0$‍, więc na mocy prawa Ohma napięcie na oporniku jest równe $0$‍.

Zamknięcie przełącznika wytworzyło drogę dla przepływu dodatniego ładunku z górnej okładki do ujemnego ładunku na dolnej (i na odwrót).

Cewka i opornik w tej samej chwili "dostrzegają" napięcie na kondensatorze, $v_{\text{C}}={\text{V}}_0$‍. Jego istnienie wytwarza prąd płynący przez cewkę i opornik. Skąd bierze się ten prąd? Jego źródłem jest, oczywiście, ładunek z kondensatora. Ładunek z jednej okładki jest wprawiany w ruch przez siłę elektryczną przyciągania między ładunkami o przeciwnym ładunku z drugiej okładki.

Na oporniku pojawia się prąd. Dzięki prawu Ohma wiemy, że pojawi się na nim spadek napięcia. Zakładaliśmy, że opór jest niewielki, więc spadek napięcia też będzie mały. Tym niemniej, opornik rozgrzeje się nieco rozpraszając niewielką ilość energii.

Przez cewkę płynie prąd. Zaczyna ona, chwilowo, gromadzić energię w otaczającym ją polu magnetycznym. Po chwili energia zacznie wypływać z pola magnetycznego. (Napięcie na cewce będzie odrobinę mniejsze od $v_{\text{C}}$‍ ze względu na niewielki spadek napięcia na oporniku.)

W tym czasie na kondensatorze prąd wypływa z górnej okładki, płynie przez opornik, cewkę i trafia na dolną okładkę. Skoro $q$‍ maleje, to zależność $q=\text{C}v$‍ mówi nam, że $v_{\text{C}}$‍ również spada.

Z biegiem czasu dochodzimy do momentu, gdy ładunki na okładkach wyrównają się. Napięcie na kondensatorze spada wtedy do zera.

Na cewce utrzymuje się prąd, mimo napięcia bliskiego albo równego zeru. Energia zgromadzona w polu magnetycznym podtrzymuje przepływ prądu. (Natężenie prądu nie spada nagle do zera gdy napięcie ulega wyzerowaniu. Cewka "nie pozwala" na ostre zmiany natężenia prądu.)

Nawet po spadku napięcia do zera, prąd, którego źródłem jest cewka przesyła nośniki między górną a dolną okładką kondensatora. Więcej dodatniego ładunku zgromadzone jest teraz na dolnej okładce niż na górnej. Napięcie zmienia więc znak i staje się ujemne.

Coraz większa ilość ładunku zgromadzonego na dolnej okładce coraz silniej hamuje, poprzez odpychanie elektrostatyczne, dalszy przepływ ładunku. Natężenie prądu na cewce zaczyna spadać w kierunku $0$‍.

Po pewnym czasie cały ładunek przepłynie do dolnej okładki, a napięcie osiągnie skrajną ujemną wartość, odrobinę niższą (co do modułu) od napięcia początkowego. Opornik drenuje energię z naszego obwodu, przez co osiągana wartość napięcia nie jest tak wysoka jak początkowa. Przez chwilę ruch ładunku zostaje wstrzymany, a przebieg natężenia prądu przecina $0$‍.

Powyższy obrazek jest niemal identyczny do stanu wyjściowego. Natężenie prądu znów wynosi zero, a napięcie ma swoją skrajną wartość. Różnica tkwi w znaku i wartości bezwzględnej napięcia, które teraz jest ujemne i jest odrobinę niższe od napięcia początkowego. Historia układu powtórzy się wstecz: teraz zamiast dolnej okładki ładować będzie się górna. Pełny cykl pracy układu wygląda następująco:

Po jednym okresie znaleźliśmy się w początkowej sytuacji, ale część energii została wyprowadzona z układu. Ładunek dalej będzie przepływał między okładkami raz w jedną, raz w drugą stronę, za każdym razem tracąc część energii. W końcu ulegnie zatrzymaniu.

Mechanicznym odpowiednikiem układu $\text{LC}$‍ jest wahadło bez tarcia. Dodanie opornika w układzie $\text{RLC}$‍ odpowiada dodaniu oporu powietrza, które spowalnia wahadło do jego zatrzymania.

Z każdym wahnięciem wahadła, część energii rozpraszana jest na tarciu wynikającym z obecności oporu powietrza. Wahnięcia robią się coraz krótsze i krótsze, aż wreszcie wahadło ulega całkowitemu zatrzymaniu. Jeśli opór powietrza jest niski, wahadło wykona wiele powtórzeń zanim się zatrzyma. Jeśli jest bardzo wysoki, spowolnione wahadło opadnie do dolnego położenia. Przy pewnej ściśle określonej wartości oporu, wahadło opadnie do dolnego położenia tak szybko jak może, bez przekraczania punktu równowagi i zmiany kierunku ruchu.

Nasz obwód wykazuje takie samo zachowanie. Natężenie prądu i napięcie będą zachowywały się tak jak prędkość i położenie masy zawieszonej na wahadle. (Innym przykładem analogicznego układu jest masa zawieszona na sprężynie. Jeśli pociągniemy i puścimy masę, jej ruch w górę i w dół przypominał będzie ruch wahadła.)

Czy pamiętasz nasze założenie, według którego opór $\text{R}$‍ jest względnie niewielki? Mały opór pozwala na utrzymanie drgań układu przez pewien czas. Jak myślisz, co stanie się jeśli opór będzie większy? (Wskazówka: zastanów się, jak długo trwałby ruch wahadła gdyby siła tarcia była wyższa.)

W następnych dwóch artykułach opiszemy dokładnie działanie układu $\text{RLC}$‍ i wyprowadzimy równanie na odpowiedź naturalną. Będziemy potrafili przewidzieć częstotliwość drgań oraz szybkość zaniku sygnału.

Prześledziliśmy, jak przemieszcza się ładunek w układzie $\text{RLC}$‍. Wyszliśmy od stanu układu z naładowanym kondensatorem i zamknęliśmy obwód. Ładunek przepływał raz w jedną, raz w drugą stronę, płynąc za każdym razem przez cewkę i opornik.

Gdy prąd przepływa przez cewkę, gromadzi ona energię w wytwarzanym przez nią polu magnetycznym. Ta energia napędza dalszy ruch ładunku.

W każdym okresie drgań, napięcie jest trochę niższe niż w poprzednim, gdyż energia jest przekształcana w ciepło na oporniku i odprowadzana z układu.

Mechanicznym analogiem układu $\text{RLC}$‍ jest wahadło. Zestawienie tych dwóch układów znacznie ułatwia zrozumienie tego, co dzieje się w naszym obwodzie.